Jedynkowy system liczbowy
Jedynkowy system liczbowy – najprostszy możliwy system liczbowy.
Do zapisu liczb w tym systemie stosuje się wyłącznie jeden znak oznaczający liczbę "1". Kolejne liczby tworzy się przez powtarzanie tego znaku tyle razy, ile wynika to z wartości danej liczby. Tak więc np. 3 w systemie jedynkowym jest równe "111", a 10 = "1111111111".
System jedynkowy jest w praktyce niewygodny, już przy stosunkowo niedużych liczbach takich jak np. "1000" zapisywanie ich w systemie jedynkowym byłoby uciążliwe. Systemem tym posługują się jedynie nieliczne społeczności, np. Pigmeje.
System jedynkowy można formalnie traktować jako jednocześnie pozycyjny i addytywny system liczbowy.
Traktując go jako system addytywny, można uznać, że zapis liczby 3 = "111" wynika z faktu, że 1+1+1 = 3.
Traktując go jako system pozycyjny, można by uznać, że jego podstawą pozycji jest właśnie liczba 1. Np. 3 w tym systemie zapisuje jak "111" gdyż:
- 1x10+1x11+1x12=1+1+1 = 3.
Przy takim założeniu warto zauważyć, że system jedynkowy jest jedynym systemem pozycyjnym, w którym do zapisu liczb nie trzeba używać znaku zera ("0"). Co więcej, zbiór wszystkich cyfr tego systemu jest inny, niż wynika z ogólnych prawideł dla systemu pozycyjnego: najmniejszą cyfrą w innych systemach pozycyjnych jest zero, a największą - podstawa minus 1. Dla systemu jedynkowego jedyną cyfrą byłoby zero, tymczasem zamiast jednej cyfry 0 mamy jedną cyfrę 1. Nie jest tu też prawdą, że cyfry systemu pozycyjnego mają wartość mniejszą od podstawy. Sprawia to, że uznanie systemu jedynkowego za pozycyjny może być podważane i niekiedy podaje się, że najmniejszą podstawą systemu pozycyjnego jest 2.
Ciekawostką jedynkowego systemu liczbowego jest to, że wszelkie operacje arytmetyczne można w nim sprowadzić do prostego, mechanicznego obcinania lub łączenia liczb. Jeśli np. chcemy dodać "111" (3) i "11111" (5) wystarczy, że mechanicznie skleimy obie liczby:
111+11111 (3+5) | (tu sklej) =11111111 (=8)
Jeśli chcemy odjąć od "11111" liczbę "111", wystarczy, że przyrównamy do siebie "długości" obu liczb i zostawimy ten "kawałek" dłuższej liczby, który "wystaje":
11111 (5) - |(tu ciąć) 111 (3) 11 = (2)
Maszyna Turinga, będąca najprostszym możliwym koncepcyjnie komputerem "działała" właśnie w oparciu o jedynkowy system liczbowy. Alan Turing dowiódł za jej pomocą, że poprzez proste operacje mechaniczne na taśmach (cięcie i sklejanie), na których liczby są zapisane w systemie jedynkowym, można wykonać wszelkie operacje arytmetyczne, pod warunkiem, że dysponujemy taśmami o nieskończonej długości (i nieskończoną ilością czasu na cięcie i klejenie).