Dwójkowy system liczbowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Dwójkowy system liczbowy, system binarny – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Historia[edytuj]

Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b[1]. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz[2], autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l'Arithmétique Binaire.

Wykorzystanie[edytuj]

Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych[2]. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np.

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:

ułamek zwykły:

(nawiasem oznaczono okres ułamka)

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:

pierwsze dziesięć liczb w systemie dwójkowym
w systemie
dziesiętnym
w systemie
dwójkowym
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010

Zmiany systemu[edytuj]

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:


Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd.

Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:

reszty 0 - 0 to cyfra jedności,
reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu,
reszty 1
reszty 1
reszty 1

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc .

Działania na liczbach w systemie dwójkowym[edytuj]

Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:

Przykład dodawania w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

                    11101
               -    10110
                    00111

(zera z lewej strony można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

Zobacz też[edytuj]

Pochodne kodowania liczb całkowitych:

Przypisy

  1. Human choice and computers, 2002, ISBN 1-4020-7185-X.
  2. a b EdwardE. Kofler EdwardE., Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 27.