Patyczki liczbowe

Patyczki do liczenia (chiń. upr. 籌; chiń. trad. 筹; pinyin chóu; jap. 算木, sangi) to małe pręciki, zwykle mające 3–14 cm długości, używane przez matematyków w Chinach, Japonii, Korei i Wietnamie. Są one rozkładane poziomo lub pionowo, aby przedstawić dowolną liczbę lub ułamek.

Zapis bazujący na ich ułożeniu nazywa się patyczki liczbowe. Jest to prawdziwie pozycyjny system liczbowy z cyframi od 1 do 9, a później także i 0.

Historia

Patyczki do liczenia były używane przez starożytnych Chińczyków od ponad dwóch tysięcy lat. W 1954 odnaleziono 40 patyczków z Okresu Walczących Królestw w Zuojiagongshan (左家公山) w Changsha w prowincji Hunan^[1].

W 1973 archeolodzy odkryli kilka drewnianych skryptów w grobie z czasów dynastii Han w Hubei, na jednym z nich znajdowała się inskrypcja: „当利二月定算”, jest to jeden z najwcześniejszych przykładów stosowania patyczków liczbowych w zapisie.

W 1976, pakiet kościanych patyczków z czasów Dynastii Han został odkryty w powiecie Qianyang w Shanxi.^[2] Oznacza to, że patyczki musiały być używane także wcześniej; Laozi, w tekście z Okresu Walczących Królestw, powiedział „dobry kalkulator nie korzysta z patyczków”^[3].

Gdy rozkwitła era abakusa, patyczki zostały porzucone, z wyjątkiem Japonii, gdzie rozwinięto z nich symboliczny zapis do algebry.

Sposób użycia

Patyczki liczbowe przedstawiają cyfry za pomocą ilości patyczków, przy czym prostopadłe patyczki oznaczają pięć. Aby uniknąć nieporozumień, poziome i pionowe formy są używane zamiennie. W ogólności, pionowe pręciki przedstawiają jednostki, setki, dziesiątki tysięcy, itd. Natomiast poziome oznaczają dziesiątki, tysiące, setki tysięcy itd. Sun Zi napisał, że „jeden jest pionowe, dziesięć jest poziome”^[4]^[5]. Później kamień do gry w go był czasem używany do przedstawienia 0.

Zamienność form pionowych i poziomych jest bardzo istotna aby prawidłowo zrozumieć inskrypcje w rękopisach. Na przykład, w Licheng suanjin, 81 zapisano jako , a 108 zapisano jako ; jasne jest, że na drugim umieszczono puste zero na „planszy do liczenia” (np.: podłodze lub macie), nawet jeśli w zapisie nie było odstępu. W tym samym rękopisie, 405 zapisano jako , z odstępem z oczywistych powodów, a nie ma sposobu, aby odczytać to jako „45” . Innymi słowy, zapisywane cyfry patyczkowe niekoniecznie muszą być pozycyjne, lecz na planszy do liczenia z pewnością są. jest dokładnym obrazem liczby patyczkowej na planszy.

Matematyk dynastii Song Jia Xian stosował ręcznie zapisane kolejno chińskie potęgi dziesiątki 步十百千万 jako wartość cyfry patyczkowej na zadanej pozycji, jak to wynika ze szkicu na stronie w Encyklopedii Cesarza Yongle. Ułożył on 七万一千八百二十四 (7 10000 1 1000 8 100 2 10 4) jako

七一八二四	7	1	8	2	4
万千百十步	10000	1000	100	10	krok

Potraktował on chińskie potęgi dziesiątki jako znaczniki pozycji, a 七一八二四 stały się pozycyjnymi cyframi dziesiętnymi. Następnie zapisał cyfry patyczkowe na pozycyjnych cyfrach dziesiętnych:

七	一	八	二	四
万	千	百	十	步

W Japonii, matematycy umieszczali patyczki liczbowe na planszy do liczenia, arkuszu materiału z siatką, i używali jedynie pionowych form w oparciu o siatkę.

Liczby dodatnie
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pionowe
Poziome

Liczby ujemne
	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
Pionowe
Poziome

^{[potrzebny przypis]}

Przykłady:

231
5089
-407
-6720

Liczby patyczkowe

Liczby patyczkowe to pozycyjny system liczbowy utworzony z kształtów patyczków liczbowych. Liczby dodatnie zapisujemy wprost a ujemne z ukośnym słupkiem na ostatniej cyfrze. Pionowy słupek w poziomych formach 6–9 jest krótszy, aby zachować tę samą wysokość wszystkich znaków.

Okrąg (〇) reprezentuje 0. Wielu historyków myśli, że Gautama Siddha zapożyczył go od cyfr indyjskich w 718^[4], lecz inni sądzą, że został utworzony od chińskiego wypełniacza miejsca na tekst „□”^[6].

W XIII wieku matematycy Dynastii Song zmienili zapis cyfr dla 4, 5 i 9, aby zredukować liczbę kresek^[6]. Nowa pozioma forma ostatecznie przekształciła się w cyfry Suzhou. Japończycy kontynuowali użycie form tradycyjnych.

Liczby dodatnie (tradycyjne)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pionowe
Poziome

Liczby ujemne (tradycyjne)
	-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
Pionowe

Liczby dodatnie (Dynastia Song)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pionowe
Poziome

Przykłady:

	Tradycyjny	Dynastia Song
231
5089
-407
-6720

Ułamki

Ułamki liczb patyczkowych są wyrażane jako dwie liczby patyczkowe jedna nad drugą (bez żadnych dodatkowych symboli jak współczesna kreska ułamkowa).

Unicode

Unicode 5.0 zawiera cyfry dla liczb patyczkowych w zarezerwowanym dla nich obszarze Supplementary Multilingual Plane (SMP) od U+1D360 do U+1D37F. Kody znaków dla cyfr poziomych 1-9 są w obszarze od U+1D360 do U+1D368, a ich odpowiedniki pionowe od U+1D369 do U+1D371. Te pierwsze to tzw. jednostki, a drugie dziesiątki^[7], co jest sprzeczne z zasadami opisanymi wyżej. Zero należy przedstawiać za pomocą U+3007 (〇, ideographic number zero), a znak negacji jako U+20E5 (combining reverse solidus overlay)^[8]. Jako że znaki te zostały umieszczone w zbiorze Unicode niedawno oraz z uwagi na to, że są dodane do SMP, ich dostępność w czcionkach może być mocno ograniczona. Szare obszary oznaczają kody nieprzypisane.

Cyfry dla liczb patyczkowych diagram Unicode.org (PDF)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+1D36x	퍠	퍡	퍢	퍣	퍤	퍥	퍦	퍧	퍨	퍩	퍪	퍫	퍬	퍭	퍮	퍯
U+1D37x	퍰	퍱

Przypisy

↑ 中国独特的计算工具. [dostęp 2007-12-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-08-23)].
↑ Wu Wenjun ed, Grand Series of History of Chinese Mathematics, vol 1, p371
↑ 老子: 善數者不用籌策。
↑ ^a ^b Qīngxiáng Wáng: Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods). Tokyo: Tōyō Shoten, 1999. ISBN 4-88595-226-3.
↑ Chińskie Wikiźródło 正負術曰: 同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。
↑ ^a ^b Baocong Qian: Zhongguo Shuxue Shi (The history of Chinese mathematics). Beijing: Kexue Chubanshe, 1964.
↑ The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 558.
↑ The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 499–500.

[1] 中国独特的计算工具. [dostęp 2007-12-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-08-23)].

[2] Wu Wenjun ed, Grand Series of History of Chinese Mathematics, vol 1, p371

[3] 老子: 善數者不用籌策。

[wang-4] Qīngxiáng Wáng: Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods). Tokyo: Tōyō Shoten, 1999. ISBN 4-88595-226-3.

[5] Chińskie Wikiźródło 正負術曰: 同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

[qian-6] Baocong Qian: Zhongguo Shuxue Shi (The history of Chinese mathematics). Beijing: Kexue Chubanshe, 1964.

[7] The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 558.

[8] The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 499–500.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]