Kumulanta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami κn rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

gdzie X jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, jest n-tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Niektóre własności kumulant[edytuj]

Niezmienniczość[edytuj]

Zachodzą następujące własności:

  • dla n ≥ 2

gdzie c jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Homogeniczność[edytuj]

Kumulanty są homogeniczne stopnia n, to znaczy:

Addytywność[edytuj]

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

Kumulanty i momenty[edytuj]

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

n-ty moment zwykły mn jest wielomianem n-tego stopnia w pierwszych n kumulantach, zatem:

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie κ1 występuje jako czynnik.

Kumulanty i podział zbioru[edytuj]

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

gdzie:

  • π przebiega przez wszystkie podziały zbioru n-elementowego
  • "" jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony
  • |B| jest liczebnością zbioru B

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi n (np. dla κ3 κ22 κ1, suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej n odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów n-elementowego zbioru, które łączą się w podziały n kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa[edytuj]

  • Kumulanty rozkładu normalnego o średniej μ i odchyleniu standardowym σ wynoszą κ1 = μ, κ2 = σ2 i κn = 0 dla n > 2.

Zobacz też[edytuj]