Twierdzenie Ramseya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Liczby Ramseya)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Twierdzenie Ramseya – twierdzenie matematyczne dotyczące teorii grafów, udowodnione przez F. Ramseya.

Treść twierdzenia[edytuj]

Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba naturalna n, że wśród dowolnych n osób zawsze znajdziemy k osób, które znają się każda z każdą, lub k osób, które nie znają się żadna z żadną. Wtedy n=R(k) i jest k-tą liczbą Ramseya.

Przedstawienie graficzne[edytuj]

Jeśli narysujemy n punktów i połączymy je każdy z każdym dwoma kolorami, to n jest k-tą liczbą Ramseya wtedy i tylko wtedy, gdy n jest najmniejszą liczbą taką, że na takim grafie pełnym znajdziemy jednokolorową klikę o k wierzchołkach.

Liczby Ramseya[edytuj]

Definicja[edytuj]

Liczbą Ramseya dla i nazywamy najmniejszą liczbę , taką że dla dowolnego k-pokolorowania krawędziowego n-wierzchołkowego grafu pełnego istnieje i, , takie, że w pokolorowanym grafie jest klika rozmiaru , której wszystkie krawędzie są w kolorze .

Dwukolorowanie krawędzi grafu K5 bez monochromatycznej kliki rozmiaru 3. Dowód, że R(3,3)>5.

Przykład[edytuj]

Aby znaleźć na przykład wartość R(3,3), kolorujemy krawędzie grafów pełnych dwoma kolorami (np. czerwonym i niebieskim), szukając najmniejszego grafu pełnego, dla którego przy dowolnym kolorowaniu znajdziemy albo trójkąt czerwony, albo trójkąt niebieski. Okazuje się, że R(3,3)=6. Dowód: wybierzmy dowolny punkt grafu pełnego o sześciu wierzchołkach. Wychodzi z niego pięć krawędzi, więc przynajmniej trzy mają wspólny kolor. Załóżmy bez utraty ogólności, że są to trzy czerwone krawędzie (sytuacje te charakteryzują się pełną symetrią). Krawędzie te prowadzą do trzech różnych punktów; te trzy nowe punkty są połączone między sobą trzema krawędziami. Jeżeli choć jedna z nowych krawędzi jest czerwona, powstaje czerwony trójkąt, w przeciwnym przypadku powstaje niebieski trójkąt. Wobec tego R(3, 3) nie może być większe od 6. Rysunek po prawej dowodzi, że nie może być równe 5 ani mniejsze, więc istotnie jest równe 6. Ma to bardzo wygodną interpretację, mianowicie w zbiorze 6 osób zawsze znajdziemy 3 osoby znające się wzajemnie lub 3 osoby, które się nie znają.

Wyznaczanie wartości liczb Ramseya[edytuj]

Okazuje się, że wyznaczenie wartości liczb Ramseya jest bardzo trudnym obliczeniowo zadaniem. Często mamy do dyspozycji bardzo dokładne ich oszacowania, a nie jesteśmy w stanie określić ich wartości, mimo że nie są to wielkie liczby. Poniżej dotychczasowe osiągnięcia w tej dziedzinie:

Liczba Wartość Odkrywca, rok
R(3,3) 6 Greenwood i Gleason, 1955
R(3,4) 9 Greenwood i Gleason, 1955
R(3,5) 14 Greenwood i Gleason, 1955
R(4,4) 18 Greenwood i Gleason, 1955
R(3,6) 18 Kery, 1964
R(3,7) 23 Kalbfleich, 1966
R(3,8) 28 Graver i Yachel, 1968
R(3,9) 36 McKay i Zhang Ke Min, 1992
R(4,5) 25 McKay i Radziszowski, 1995
R(3,3,3) 17 Greenwood i Gleason, 1955
(nie wyznaczono dokładnej wartości)
jw.
jw.
jw.
jw.
jw.
jw.
jw.

źródło: "Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów." pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.

Algorytm kwantowy[edytuj]

W roku 2011 zaproponowany został kwantowy algorytm obliczania dwukolorowych liczb Ramseya R(m,n)[1]. Algorytm został następnie użyty eksperymentalnie do wyliczenia liczb R(2,4), R(2,5), R(2,6), R(2,7), R(2,8) i R(3,3) używając komputera kwantowego o 84 kubitach[2]. Minimalna liczba kubitów niezbędna do wyliczenia dwukolorowej liczby Ramseya wynosi gdzie jest wartością wyliczanej liczby[1]. Zaproponowany algorytm kwantowy sprawdza, czy dla danej liczby wierzchołków wszystkie grafy mają własność podaną w definicji. Dla znalezienia liczby Ramseya algorytm uruchamiany jest kolejno dla coraz większych , szukaną wartością R(m,n) jest najniższe dla którego zwróci on odpowiedź pozytywną.

Nieklasyczne liczby Ramseya[edytuj]

Klasyczne liczby Ramseya zdefiniowane są za pomocą kolorowania grafów pełnych, w których poszukujemy monochromatycznych klik (czyli podgrafów pełnych). Pojęcie można jednak uogólnić na poszukiwania dowolnych podgrafów monochromatycznych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b Frank Gaitan, Lane Clark. Ramsey numbers and adiabatic quantum computing. „Phys. Rev. Lett.”. 108, s. 010501, 2012. DOI: 10.1103/PhysRevLett.108.010501.  arXiv:1103.1345 (ang.)
  2. ZhengBing Bian, Fabian Chudak, William G. Macready, Frank Gaitan i inni. Experimental determination of Ramsey numbers with quantum annealing. , 2012.  arXiv:1201.1842 (ang.)

Bibliografia[edytuj]

  • "mmm" nr 3/2008
  • Tomasz Bartnicki. Czy 11 jest największą liczbą na świecie?. „Matematyka Społeczeństwo Nauczanie”. 39, s. 33, 34, styczeń 2007.