Miara ściśle dodatnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara ściśle dodatnia – w teorii miary, dziale matematyki, miara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś \mathfrak M będzie σ-algebrą na X zawierającą topologię \tau, co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś \mathfrak M jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na X. Miarę \mu określoną na (X, \mathfrak M) nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty X jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie: \mu jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

\forall_\begin{smallmatrix} U \in \tau\colon \\ U \neq \varnothing \end{smallmatrix}\; \mu(U) > 0.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Miara licząca określona na dowolnym zbiorze X (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
  • Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia \tau nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo \delta_0 określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli \mathbb R jest wyposażona w trywialną topologię \tau = \{\varnothing, \mathbb R\}, to \delta_0 jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
  • Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
    • miara Wienera na przestrzeni dróg w \mathbb R^n jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
  • Miara Lebesgue'a na \mathbb R^n (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
  • Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli \mu, \nu są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej (X, \mathfrak M), przy czym \mu jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem \nu, to \nu także jest ściśle dodatnia.
  • Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]