Miara ściśle dodatnia

Miara ściśle dodatnia – miara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau ,$ co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś ${\mathfrak {M}}$ jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na $X.$ Miarę $\mu$ określoną na $(X,{\mathfrak {M}})$ nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty $X$ jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie: $\mu$ jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall _{\begin{smallmatrix}U\in \tau \colon \\U\neq \varnothing \end{smallmatrix}}\;\mu (U)>0.$

Przykłady

• Miara licząca określona na dowolnym zbiorze $X$ (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
• Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia $\tau$ nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo $\delta _{0}$ określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli $\mathbb {R}$ jest wyposażona w trywialną topologię $\tau =\{\varnothing ,\mathbb {R} \},$ to $\delta _{0}$ jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
• Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$ (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
  • miara Wienera na przestrzeni dróg w $\mathbb {R} ^{n}$ jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
• Miara Lebesgue’a na $\mathbb {R} ^{n}$ (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
• Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

Własności

• Jeżeli $\mu ,\nu$ są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathfrak {M}}),$ przy czym $\mu$ jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem $\nu ,$ to $\nu$ także jest ściśle dodatnia.
• Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

Zobacz też

• nośnik miary: miara jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej nośnikiem jest cała przestrzeń.