Miara ściśle dodatnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara ściśle dodatniamiara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś będzie σ-algebrą na zawierającą topologię co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na Miarę określoną na nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie: jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

Przykłady[edytuj]

  • Miara licząca określona na dowolnym zbiorze (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
  • Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli jest wyposażona w trywialną topologię to jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
  • Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
    • miara Wienera na przestrzeni dróg w jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
  • Miara Lebesgue'a na (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
  • Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

Własności[edytuj]

  • Jeżeli są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej przy czym jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem to także jest ściśle dodatnia.
  • Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

Zobacz też[edytuj]