Droga (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Drogaciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja[edytuj]

Niech oraz niech będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie .

Punktem początkowym drogi jest , a końcowym . Często mówi się o „drodze z do ”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w nazywa się drogę z do . Równoważnie można określić ją jako drogę taką, że lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli . Ostatnia równoważność wynika z tego, że może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa z utożsamionymi punktami i .

Zbiór pętli w zaczepionych w nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem .

Drogowa spójność[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń drogowo spójna.

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często .

Uwagi[edytuj]

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem , który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania oraz będące dwiema różnymi drogami z do na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem[edytuj]

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech będzie taką przestrzenią, drogą w nazywa się te drogi w , których punktem początkowym jest . Analogicznie pętlą w nazywa się pętle zaczepione w .

Homotopia[edytuj]

Homotopia między dwiema drogami.
 Osobny artykuł: homotopia.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy ) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi[edytuj]

Homotopią dróg z do w nazywamy rodzinę dróg taką, że

  • i są stałe,
  • odwzorowanie dane wzorem jest ciągłe.

Pętle[edytuj]

Homotopią pętli nazywamy homotopię łączącą oraz spełniającą warunek dla .

Dla powyższej homotopii każda droga jest pętlą w zaczepioną w . Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia nie ulegał przesunięciu.

Równoważność[edytuj]

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w i pętli w relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często .

Składanie[edytuj]

Załóżmy, że jest drogą z do , zaś z do . Złożeniem dróg i nazywamy drogę zdefiniowaną jako uprzednie przejście po , a następnie po :

.

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w , to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. .

Grupa podstawowa[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa podstawowa.

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005