Miara spektralna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni

Funkcję nazywamy miarą spektralną w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy:

  1. jest operatorem rzutowym dla
  2. Funkcja jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Gdy oraz to w sensie Ponieważ więc z powyższego wynika, że – operator rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni
  • Jeżeli oraz to równość określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią zwartą oraz – σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli jest miarą oraz oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni całkowalnych z kwadratem w sensie to funkcja dana wzorem jest miarą spektralną, gdzie oznacza funkcję charakterystyczną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]