Hermitowska miara spektralna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta .

Funkcję nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

  1. jest operatorem samosprzężonym dla .
  2. ,
  3. Funkcja jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności[edytuj]

Niech będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej .

  • dla .
  • Jeżeli są rozłączne, to oraz .
  • Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej operator
jest liniowy i ciągły, a jeżeli , to także samosprzężony. Ponadto
oraz dla ograniczonych funkcji borelowskich.
  • Jeśli jest zwartą przestrzenią metryczną oraz są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów istnieje funkcja ciągła , że oraz
, to .

Przykład[edytuj]

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna tej przestrzeni. Dalej, niech będzie zbiorem zwartym oraz różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:

.

Wówczas operator dany wzorem

jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo . Funkcja dana wzorem

,

gdzie oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz

.

Literatura[edytuj]

  1. Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972.