Metoda numeryczna

Metoda numeryczna – metoda rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą działań na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb. Obecnie ta dziedzina matematyki rozwija się bardzo szybko ze względu na liczne zastosowania w informatyce (np. algorytmice).

Metody numeryczne wykorzystywane są wówczas, gdy badany problem nie ma w ogóle rozwiązania analitycznego (danego wzorami) lub korzystanie z takich rozwiązań jest uciążliwe ze względu na ich złożoność.

W szczególności dotyczy to:

1. znajdowanie pierwiastków wielomianów stopnia większego niż 2 – korzystanie ze wzorów na dokładne wartości pierwiastków równań stopnia 3 i stopnia 4 jest niepraktyczne; dla równań stopnia wyższego niż 4 ogólnych wzorów czysto algebraicznych już nie ma wcale, za to te przestępne również są niepraktyczne obliczeniowo;
2. rozwiązywanie równań różniczkowych i układów takich równań
3. całkowanie
4. aproksymacja, czyli przybliżaniu nieznanych funkcji (np. pomiarów zjawisk fizycznych)
5. optymalizacja
6. rozwiązywania układów równań liniowych w przypadku większej liczby równań i niewiadomych
7. działania na macierzach, np. znajdowania wartości własnych i wektorów własnych (zob. równanie własne)

Lista metod numerycznych

1. Numeryczne wyznaczanie pierwiastków równań:

• metoda iteracji,
• metoda Halleya,
• metoda Newtona (metoda Newtona-Raphsona / metoda stycznych),
• metoda połowienia (metoda bisekcji),
• metoda siecznych,
• odwrotna interpolacja kwadratowa,
• regula falsi.

2. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych:

• metoda Eulera,
• metoda Eulera-Maruyamy - (dotyczy równań różniczkowych stochastycznych; tam: przykładowy kod w języku Python),
• metoda Rungego-Kutty.

3. Numeryczne całkowanie:

• całkowanie numeryczne,
• kwadratury Gaussa,
• metody Newtona-Cotesa.

4. Aproksymacja:

• aproksymacja,
• metoda najmniejszych kwadratów.

5. Metody optymalizacji:

• metoda Newtona (optymalizacja)
• programowanie liniowe
• przeszukiwanie tabu
• wyszukiwanie binarne

6. Inne

• algorytmy deterministyczne,
• algorytmy probabilistyczne,
• generatory liczb pseudolosowych.

Zobacz też

• obliczenia symboliczne (algebra komputerowa)

Bibliografia

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.
• A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.

Linki zewnętrzne

• Metody numeryczne (materiały dydaktyczne pracowników Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej)
• Metody numeryczne (materiały dydaktyczne MIMUW na studia informatyczne I stopnia)