Algorytm Rungego-Kutty

Algorytm Rungego-Kutty (metoda Rungego-Kutty) – metoda numeryczna do iteracyjnego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana głównie w symulacjach fizycznych. Opracowana około 1900 przez niemieckich matematyków: Carla Rungego oraz Martina Kuttę.

Obecnie nazwą metody Rungego-Kutty określa się rodzinę jawnych i niejawnych metod wielokrokowych, jak również pewne ich modyfikacje. Potocznie metodą Rungego-Kutty, określa się metodę Runge-Kutty 4. rzędu ze współczynnikami podanymi poniżej. Istnieje wiele metod RK, o wielu stopniach, wielu krokach, różnych rzędach, i różniących się między sobą innymi własnościami (jak stabilność, jawność, niejawność, metody osadzone, prędkość działania, itp.). Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu jest powszechnie stosowana ze względu na prostotę implementacji, relatywnie proste wzory, dużą szybkość oraz wysoki rząd metody.

Metoda RK 4. rzędu

Mamy równanie postaci: $y' = f(x, y)$. Znamy początkową wartość y: $y(x_0) = y_0$ i chcemy poznać kolejne wartości y.

Przyjmując dowolne h, będące wielkością kroku różniczkowania, iteracyjny wzór na y według metody Rungego-Kutty 4. rzędu to:

$y_{n+1} = y_n + {\Delta y_n}$

${\Delta y_n} = {1 \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

gdzie

$k_1 = hf \left( x_n, y_n \right)$

$k_2 = hf \left( x_n + {h \over 2}, y_n + {1 \over 2} k_1 \right)$

$k_3 = hf \left( x_n + {h \over 2}, y_n + {1 \over 2} k_2 \right)$

$k_4 = hf \left( x_n + h, y_n + k_3 \right)$

Jak widać, wartość (y_n+1) zależy od wartości (y_n) i h.

W ten sposób otrzymujemy, podobnie jak w innych iteracyjnych metodach rozwiązywania równań różniczkowych kolejne punkty, które przybliżają rozwiązanie.

Metoda RK 2. rzędu

Istnieje cała klasa metod RK 2. rzędu, z czego z nazwy wyróżnia się przynajmniej dwie metody.

Jawna metoda RK 2, znana jako metoda punktu pośredniego (ang. midpoint method)

$y_{n+1} = y_n + k_2\,$

oznaczenia takie same.

Inna, zwana metodą Heuna.

$y_{n+1} = y_n + {1 \over 2}\left(k_1+k_2\right)\,$

w której pochodna jest obliczana jako średnia arytmetyczna z pochodnych w ostatnim punkcie znanym i kolejnym. Oznaczenia takie same jak poprzednio.

Oba algorytmy prowadzą do metody drugiego rzędu, jednak metoda Heuna jest w ogólności bardziej stabilna.

Metoda Eulera, czyli metoda RK 1. rzędu

Metoda Eulera jest szczególnym przypadkiem metod Runge-Kutty:

$y_{n+1} = y_n + k_1$

Oznaczenia takie same jak poprzednio.

Zobacz też

• całkowanie numeryczne

Linki zewnętrzne

• MyPhysicsLab – Runge-Kutta Algorithm – omówienie (w języku angielskim)
• Numerical Recipes in C – Runge-Kutta Method – algorytm w języku C