Algorytm Rungego-Kutty

Algorytm Rungego-Kutty (metoda Rungego-Kutty) – metoda numeryczna do iteracyjnego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana głównie w symulacjach fizycznych. Opracowana około 1900 przez niemieckich matematyków: Carla Rungego oraz Martina Kuttę.

Obecnie nazwą metody Rungego-Kutty określa się rodzinę jawnych i niejawnych metod wielokrokowych, jak również pewne ich modyfikacje. Potocznie metodą Rungego-Kutty, określa się metodę Runge-Kutty 4. rzędu ze współczynnikami podanymi poniżej. Istnieje wiele metod RK, o wielu stopniach, wielu krokach, różnych rzędach, i różniących się między sobą innymi własnościami (jak stabilność, jawność, niejawność, metody osadzone, prędkość działania, itp.). Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu jest powszechnie stosowana ze względu na prostotę implementacji, relatywnie proste wzory, dużą szybkość oraz wysoki rząd metody.

Metoda RK 4. rzędu

Mamy równanie postaci: $y'=f(x,y)$. Znamy początkową wartość y: $y(x_{0})=y_{0}$ i chcemy poznać kolejne wartości y.

Przyjmując dowolne h, będące wielkością kroku różniczkowania, iteracyjny wzór na y według metody Rungego-Kutty 4. rzędu to:

$y_{{n+1}}=y_{n}+{\Delta y_{n}}$

${\Delta y_{n}}={1 \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$

gdzie

$k_{1}=hf\left(x_{n},y_{n}\right)$

$k_{2}=hf\left(x_{n}+{h \over 2},y_{n}+{1 \over 2}k_{1}\right)$

$k_{3}=hf\left(x_{n}+{h \over 2},y_{n}+{1 \over 2}k_{2}\right)$

$k_{4}=hf\left(x_{n}+h,y_{n}+k_{3}\right)$

Jak widać, wartość (y_n+1) zależy od wartości (y_n) i h.

W ten sposób otrzymujemy, podobnie jak w innych iteracyjnych metodach rozwiązywania równań różniczkowych kolejne punkty, które przybliżają rozwiązanie.

Metoda RK 2. rzędu

Istnieje cała klasa metod RK 2. rzędu, z czego z nazwy wyróżnia się przynajmniej dwie metody.

Jawna metoda RK 2, znana jako metoda punktu pośredniego (ang. midpoint method)

$y_{{n+1}}=y_{n}+k_{2}\,$

oznaczenia takie same.

Inna, zwana metodą Heuna.

$y_{{n+1}}=y_{n}+{1 \over 2}\left(k_{1}+k_{2}\right)\,$

w której pochodna jest obliczana jako średnia arytmetyczna z pochodnych w ostatnim punkcie znanym i kolejnym. Oznaczenia takie same jak poprzednio.

Oba algorytmy prowadzą do metody drugiego rzędu, jednak metoda Heuna jest w ogólności bardziej stabilna.

Metoda Eulera, czyli metoda RK 1. rzędu

Metoda Eulera jest szczególnym przypadkiem metod Runge-Kutty:

$y_{{n+1}}=y_{n}+k_{1}$

Oznaczenia takie same jak poprzednio.

Zobacz też

• całkowanie numeryczne

Linki zewnętrzne

• MyPhysicsLab – Runge-Kutta Algorithm – omówienie (w języku angielskim)
• Numerical Recipes in C – Runge-Kutta Method – algorytm w języku C