Paczka falowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Paczka falowa nie ulegająca dyspersji

Paczka falowa (pakiet falowy) – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.

W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) obiektów paczka falowa jest obiektem zlokalizowanym. Obiekt taki przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje, a prędkość, z jaką to się odbywa, zwana jest prędkością grupową.

Podejście matematyczne[edytuj]

Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:

gdzie

– prędkość propagacji fali w danym ośrodku,
– zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie w chwili .

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:

gdzie:

jednostka urojona,
wektor falowy,
pulsacja (częstość kołowa),

Kwadrat długości wektora falowego w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:

Natomiast kwadrat pulsacji może być zapisany jako:

Powyższa relacja pomiędzy , a jest prawdziwa, jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.

Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku . Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:

w którym:

Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich , jako że jest funkcją . Drugi człon zaś, będący funkcją , reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości .

Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.

Przechodząc z dziedziny czasu do dziedziny pulsacji , dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:

W przypadku gdy:

paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:

Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją . Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja ewaluowana w granicy przy , z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:

.

Bibliografia[edytuj]