Pierścień Dedekinda

Pierścień Dedekinda – pierścień całkowity oznaczany jako $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$ i zdefiniowany następująco $\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+i{\sqrt {5}}b:a,b\in {\mathbb {Z} }\}.$ Ciekawą własnością tego pierścienia jest to, że liczba $2\in {\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ jest elementem nierozkładalnym, ale nie jest elementem pierwszym.

Pierścienie Dedekinda

Jeśli pierścień $R$ jest podpierścieniem pierścienia $S,$ to element $s\in S$ nazywamy całkowitym nad $R,$ gdy spełnia on warunek

$s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n-1}s+a_{n}=0$ dla pewnej liczby naturalnej $n$ i elementów $a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}\in R$

(por. twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o całkowitych współczynnikach).

Pierścieniem Dedekinda nazywamy każdy pierścień całkowity noetherowski R całkowicie domknięty (normalny: każdy element całkowity jego ciała ułamków należy do R) w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym. Równoważne sformułowanie: pierścień R jest regularny wymiaru 0.

Jeśli ciało $F$ jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ (tzn. $F$ zawiera $\mathbb {Q}$ jako podciało i jako przestrzeń liniowa nad $\mathbb {Q}$ ma skończony wymiar), to zbiór wszystkich elementów ciała $F$ całkowitych nad $\mathbb {Z}$ jest pierścieniem Dedekinda (w szczególności pierścień $\mathbb {Z}$ jest pierścieniem Dedekinda).

Inne przykłady pierścieni Dedekinda to pierścienie funkcji regularnych na regularnych krzywych algebraicznych.

Istnieją pierścienie Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu, np. $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]$ (w pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy). Jednakże każdy niezerowy ideał pierścienia Dedekinda ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn ideałów maksymalnych.

Jeśli pierścień Dedekinda jest z jednoznacznością rozkładu, to jest pierścieniem ideałów głównych. Jednakże w każdym pierścieniu Dedekinda każdy ideał niezerowy ma dwuelementowy zbiór generatorów.

Zobacz też

• pierścień (matematyka)
• Richard Dedekind

Literatura

• Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Władysław Narkiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers (ang.), PWN, 1974.