Punkt skupienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Punkt przestrzeni topologicznej T1 jest punktem skupienia zbioru , gdy dowolny zbiór otwarty zawierający zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru różny od , tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ze zbiorem jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru[1].

Własności[edytuj]

  • Punkt jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru [1].
  • W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru [1].

Związane pojęcia[edytuj]

  • Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem, punkt należący do zbioru jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru różnych od .
  • Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru , to punkt nazywamy punktem kondensacji zbioru .

Przykłady[edytuj]

  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych.
  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru zbioru liczb wymiernych.
  • Punkty skupienia przedziału (0, 1) to wszystkie punkty tego przedziału, 0 oraz 1. Wszystkie one są punktami kondensacji przedziału (0, 1).
  • Punkty skupienia przedziału (0, 1] to wszystkie punkty wewnętrzne tego przedziału, 0 oraz należący również do przedziału punkt 1. Jak wyżej, wszystkie te punkty są punktami kondensacji.
  • Zbiór {0, 1, 2} nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
  • Jedynym punktem skupienia zbioru {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} jest 0, pozostałe są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
  • Jedynymi punktami skupienia zbioru {1/4, 3/4, 1/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 6/7,...} są 0 i 1, pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b c Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1978, s. 48.