Rugownik – wyrażenie zależne od współczynników dwóch wielomianów , równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.
Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym
K
:
{\displaystyle K{:}}
F
(
x
)
=
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
a
2
x
n
−
2
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle F(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n}}
G
(
x
)
=
b
0
x
m
+
b
1
x
m
−
1
+
b
2
x
m
−
2
+
⋯
+
b
m
{\displaystyle G(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\dots +b_{m}}
Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia
n
+
m
{\displaystyle n+m}
postaci[a]
R
(
F
,
G
)
=
|
a
0
a
1
a
2
…
a
n
0
0
…
0
0
a
0
a
1
…
a
n
−
1
a
n
0
…
0
0
0
a
0
…
a
n
−
2
a
n
−
1
a
n
…
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
…
a
0
a
1
a
2
…
a
n
b
0
b
1
b
2
…
b
m
0
0
…
0
0
b
0
b
1
…
b
m
−
1
b
m
0
…
0
0
0
b
0
…
b
m
−
2
b
m
−
1
b
m
…
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
…
b
0
b
1
b
2
…
b
m
|
.
{\displaystyle \mathrm {R} (F,G)={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&0&0&\dots &0\\0&a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\0&0&a_{0}&\dots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{n}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}&0&0&\dots &0\\0&b_{0}&b_{1}&\dots &b_{m-1}&b_{m}&0&\dots &0\\0&0&b_{0}&\dots &b_{m-2}&b_{m-1}&b_{m}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}\end{vmatrix}}.}
Przyjmuje się dodatkowo, że
R
(
0
,
G
)
=
R
(
F
,
0
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {R} (0,G)=\mathrm {R} (F,0)=0}
Wówczas dla dowolnych wielomianów
F
,
G
,
H
:
{\displaystyle F,G,H{:}}
R
(
F
,
G
)
=
(
−
1
)
deg
F
⋅
deg
G
⋅
R
(
G
,
F
)
{\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=(-1)^{\deg F\cdot \deg G}\cdot \mathrm {R} (G,F)}
R
(
F
⋅
H
,
G
)
=
R
(
F
,
G
)
⋅
R
(
H
,
G
)
{\displaystyle \mathrm {R} (F\cdot H,G)=\mathrm {R} (F,G)\cdot \mathrm {R} (H,G)}
R
(
F
,
G
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=0}
wtedy i tylko wtedy, gdy
F
{\displaystyle F}
i
G
{\displaystyle G}
mają wspólny pierwiastek .
Istnieją takie wielomiany
v
,
w
,
{\displaystyle v,w,}
że
v
⋅
F
+
w
⋅
G
=
R
(
F
,
G
)
{\displaystyle v\cdot F+w\cdot G=\mathrm {R} (F,G)}
Niech
F
,
G
{\displaystyle F,G}
będą postaci
F
(
t
)
=
(
t
−
x
1
)
(
t
−
x
2
)
…
(
t
−
x
s
)
{\displaystyle F(t)=(t-x_{1})(t-x_{2})\dots (t-x_{s})}
G
(
t
)
=
(
t
−
y
1
)
(
t
−
y
2
)
…
(
t
−
y
r
)
{\displaystyle G(t)=(t-y_{1})(t-y_{2})\dots (t-y_{r})}
Wtedy
R
(
F
,
G
)
=
∏
i
=
1
s
∏
j
=
1
r
(
x
i
−
y
j
)
{\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=\prod _{i=1}^{s}\prod _{j=1}^{r}(x_{i}-y_{j})}
[b]
Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi [ edytuj | edytuj kod ]
Rozpatrzmy układ równań wielomianowych
f
(
x
,
y
)
=
0
,
g
(
x
,
y
)
=
0
;
{\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0;}
f
,
g
{\displaystyle f,g}
– niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg
y
{\displaystyle y}
uzyskujemy:
f
0
(
x
)
y
s
+
f
1
(
x
)
y
s
−
1
+
f
2
(
x
)
y
s
−
2
+
⋯
+
f
s
(
x
)
{\displaystyle f_{0}(x)y^{s}+f_{1}(x)y^{s-1}+f_{2}(x)y^{s-2}+\dots +f_{s}(x)}
g
0
(
x
)
y
t
+
g
1
(
x
)
y
t
−
1
+
g
2
(
x
)
y
t
−
2
+
⋯
+
g
t
(
x
)
{\displaystyle g_{0}(x)y^{t}+g_{1}(x)y^{t-1}+g_{2}(x)y^{t-2}+\dots +g_{t}(x)}
gdzie
f
0
,
g
0
{\displaystyle f_{0},g_{0}}
są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
R
(
x
)
=
|
f
0
(
x
)
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
…
f
s
(
x
)
0
0
…
0
0
f
0
(
x
)
f
1
(
x
)
…
f
s
−
1
(
x
)
f
s
(
x
)
0
…
0
0
0
f
0
(
x
)
…
f
s
−
2
(
x
)
f
s
−
1
(
x
)
f
s
(
x
)
…
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
…
f
0
(
x
)
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
…
f
s
(
x
)
g
0
(
x
)
g
1
(
x
)
g
2
(
x
)
…
g
t
(
x
)
0
0
…
0
0
g
0
(
x
)
g
1
(
x
)
…
g
t
−
1
(
x
)
g
t
(
x
)
0
…
0
0
0
g
0
(
x
)
…
g
t
−
2
(
x
)
g
t
−
1
(
x
)
g
t
(
x
)
…
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
…
g
0
(
x
)
g
1
(
x
)
g
2
(
x
)
…
g
t
(
x
)
|
.
{\displaystyle \mathrm {R} (x)={\begin{vmatrix}f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)&0&0&\dots &0\\0&f_{0}(x)&f_{1}(x)&\dots &f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&0&\dots &0\\0&0&f_{0}(x)&\dots &f_{s-2}(x)&f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)\\g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)&0&0&\dots &0\\0&g_{0}(x)&g_{1}(x)&\dots &g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&0&\dots &0\\0&0&g_{0}(x)&\dots &g_{t-2}(x)&g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)\end{vmatrix}}.}
Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg
x
,
{\displaystyle x,}
tworzy się rugownik
S
(
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {S} (y).}
Można udowdnić, że gdy para
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
jest rozwiązaniem układu równań
f
(
x
,
y
)
=
0
,
g
(
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0,}
zachodzi
R
(
a
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {R} (a)=0}
oraz
S
(
b
)
=
0.
{\displaystyle \mathrm {S} (b)=0.}
Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli
R
,
S
{\displaystyle R,S}
są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości
a
1
,
…
,
a
k
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}
odciętej i
b
1
,
…
,
b
l
{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{l}}
rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par
(
a
i
,
b
j
)
{\displaystyle (a_{i},b_{j})}
są rozwiązaniami układu równań.
↑ Współczynnik
a
n
,
{\displaystyle a_{n},}
pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad
b
0
.
{\displaystyle b_{0}.}
Ich wzajemne położenie zależy od wartości
m
,
n
.
{\displaystyle m,n.}
↑ Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.