Rugownik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rugownik – wyrażenie zależne od współczynników dwóch wielomianów, równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Definicja i własności[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia postaci[a]

Przyjmuje się dodatkowo, że

Wówczas dla dowolnych wielomianów

  • wtedy i tylko wtedy, gdy i mają wspólny pierwiastek.
  • Istnieją takie wielomiany że

Niech będą postaci

Wtedy [b]

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg uzyskujemy:

gdzie są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg tworzy się rugownik Można udowdnić, że gdy para jest rozwiązaniem układu równań zachodzi oraz

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości odciętej i rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par są rozwiązaniami układu równań.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Współczynnik pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad Ich wzajemne położenie zależy od wartości
  2. Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]