Rugownik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rugownik – wyrażenie zależne od współczynników dwóch wielomianów, równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Definicja i własności[edytuj]

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym :

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia postaci[a]

.

Przyjmuje się dodatkowo, że

Wówczas dla dowolnych wielomianów :

  • wtedy i tylko wtedy, gdy i mają wspólny pierwiastek.
  • Istnieją takie wielomiany , że

Niech będą postaci

Wtedy [b]

Zastosowanie[edytuj]

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi[edytuj]

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych ; – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg uzyskujemy:

gdzie są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

.

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg , tworzy się rugownik . Można udowdnić, że gdy para jest rozwiązaniem układu równań , zachodzi oraz .

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości odciętej i rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par są rozwiązaniami układu równań.

Uwagi

  1. Współczynnik , pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad . Ich wzajemne położenie zależy od wartości
  2. Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.

Bibliografia[edytuj]