Składowa jedynki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Składowa jedynki – w matematyce dla danej grupy topologicznej G składowa spójności G_0 zawierająca jedynkę grupy. Podobnie drogowa składowa jedynki grupy topologicznej G jest drogowa składowa spójności grupy G zawiera element neutralny grupy.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Składowa jedynki G_0 jest domkniętą podgrupą normalną grupy G. Domkniętość wynika z faktu, iż składowe są zawsze domknięte. Jest ona podgrupą, ponieważ mnożenie i odwrotność są odwzorowaniami ciągłymi. Co więcej, dla każdego ciągłego automorfizmu a grupy G zachodzi

a(G_0) = G_0,

skąd wynika, że normalność G_0 w grupie G.

Składowa spójności G_0 nie musi być zbiorem otwartym w G. Istotnie, może być G_0 = \{e\}, kiedy to G jest całkowicie niespójna. Jednakże składowa jedynki przestrzeni lokalnie drogowo spójnej (na przykład grupy Liego) jest zawsze otwarta, ponieważ zawiera drogowo spójne otoczenie zbioru \{e\}; jest to więc zbiór otwarto-domknięty.

Drogowa składowa jedynki może być w ogólności mniejsza niż składowa jedynki (ponieważ drogowa spójność jest warunkiem silniejszym niż spójność), jednakże pokrywają się one, gdy G jest lokalnie drogowo spójna.

Grupa składowych[edytuj | edytuj kod]

Grupa ilorazowa G/G_0 nazywana jest grupą składowych grupy G. Jej elementami są po prostu spójne składowe G. Grupa składowych G/G_0 jest ona dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy G_0 jest otwarta. Jeżeli G jest afiniczną grupą algebraiczną, to G/G_0 jest w istocie grupą skończoną.

Można podobnie zdefiniować drogową składową grupy jako grupę składowych drogowych (iloraz grupy przez drogową składową jedynki); w ogólności grupa składowych jest ilorazem grupy składowych drogowych, ale jeśli G jest lokalnie drogowo spójna, to grupy te pokrywają się. Grupę składowych drogowych można scharakteryzować jako zerową grupę homotopii, \pi_0(G, e).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem (\mathbb R^*, \cdot) ma dwie składowe, przy czym grupą składowych jest \bigl(\{1, -1\}, \cdot\bigr).
  • Niech dana będzie grupa elementów odwracalnych U pierścienia liczb podwójnych. W zwyczajnej topologii płaszczyzny \{z = x + jy\colon x, y \in \mathbb R\} grupa U rozpada się na cztery składowe oddzielone prostymi y = x oraz y = -x, gdzie z nie ma odwrotności. Wówczas U_0 = \{z\colon |y| < x\}. w tym przypadku grupa składowych U jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]