Składowa jedynki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Składowa jedynki – dla danej grupy topologicznej składowa spójności zawierająca jedynkę grupy. Podobnie drogowa składowa jedynki grupy topologicznej jest drogowa składowa spójności grupy zawiera element neutralny grupy.

Własności[edytuj]

Składowa jedynki jest domkniętą podgrupą normalną grupy Domkniętość wynika z faktu, iż składowe są zawsze domknięte. Jest ona podgrupą, ponieważ mnożenie i odwrotność są odwzorowaniami ciągłymi. Co więcej, dla każdego ciągłego automorfizmu grupy zachodzi

skąd wynika, że normalność w grupie

Składowa spójności nie musi być zbiorem otwartym w Istotnie, może być kiedy to jest całkowicie niespójna. Jednakże składowa jedynki przestrzeni lokalnie drogowo spójnej (na przykład grupy Liego) jest zawsze otwarta, ponieważ zawiera drogowo spójne otoczenie zbioru jest to więc zbiór otwarto-domknięty.

Drogowa składowa jedynki może być w ogólności mniejsza niż składowa jedynki (ponieważ drogowa spójność jest warunkiem silniejszym niż spójność), jednakże pokrywają się one, gdy jest lokalnie drogowo spójna.

Grupa składowych[edytuj]

Grupa ilorazowa nazywana jest grupą składowych grupy Jej elementami są po prostu spójne składowe Grupa składowych jest ona dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarta. Jeżeli jest afiniczną grupą algebraiczną, to jest w istocie grupą skończoną.

Można podobnie zdefiniować drogową składową grupy jako grupę składowych drogowych (iloraz grupy przez drogową składową jedynki); w ogólności grupa składowych jest ilorazem grupy składowych drogowych, ale jeśli jest lokalnie drogowo spójna, to grupy te pokrywają się. Grupę składowych drogowych można scharakteryzować jako zerową grupę homotopii,

Przykłady[edytuj]

  • Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem ma dwie składowe, przy czym grupą składowych jest
  • Niech dana będzie grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb podwójnych. W zwyczajnej topologii płaszczyzny grupa rozpada się na cztery składowe oddzielone prostymi oraz gdzie nie ma odwrotności. Wówczas w tym przypadku grupa składowych jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.

Bibliografia[edytuj]