Liczby podwójne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy liczb. Zobacz też: liczba podwójna – pojęcie w morfologii.

Liczby podwójne[1] – w algebrze wyrażenia postaci a + b\jmath, gdzie a,b \in \mathbb{R},  \jmath \not\in \mathbb{R} oraz \jmath^2 = 1.

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. \mathbb{R}\times \mathbb{R} z następującymi dwoma działaniami:

(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d),
(a,b)\otimes(c,d)= (ac+bd,ad+bc).

Para (1,0) jest elementem neutralnym mnożenia \otimes oraz (0,1)^2 = (1,0).

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera[2]. Dzielniki zera mają postać  (a,a)\, lub (a,-a)\,, bowiem dla dowolnych x,y:

 (x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0).

Ponieważ (1,0) i (0,1) są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

 (a,b) = (a,0)+(0,b) = a +b\jmath gdzie \jmath=(0,1).

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj.  c+d\jmath,\quad c^2-d^2 \neq 0 istnieje odwrotność:

(c+d\jmath)^{-1}
= \frac{1}{c+d\jmath}
= {-c+d\jmath \over -c^2+d^2}.

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego:

a + b\jmath \leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b \\ b & a \end{pmatrix},

w szczególności

\jmath \leftrightarrow \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  •  (12 + 7\jmath) + (36 + 43\jmath) = 48 + 50\jmath
  •  (5 + 3\jmath) \cdot (6 + 4\jmath) = 42 + 38\jmath

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. ang. Split-complex numbers
  2. Z tego względu określenie "liczby podwójne" jest nieco mylące - w algebrze najczęściej liczbami określa się podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.