Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

Definicja

Elementy $x,y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ nazywamy ortogonalnymi, gdy

$\langle x,y\rangle =0$.

Zdanie elementy $x$ i $y$ są ortogonalne zapisuje się krótko $x\perp y$. Podzbiór $A\subseteq X$ nazywamy ortogonalnym, gdy każde dwa różne elementy tego zbioru są ortogonalne. Zbiory o tej własności często nazywane są układami ortogonalnymi.

Uwaga

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, mówi się o prostopadłości danych wektorów, choć przypadek wektora zerowego pokazuje, że intuicje geometryczne nie zawsze są w tym przypadku pomocne.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

W przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{2}$ (ze standardowym iloczynem skalarnym oznaczonym tutaj symbolem $\circ$) wektory

• $[-1,3]$ i $[3,1]$ są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ

  $[-1,3]\circ [3,1]=-1\cdot 3+3\cdot 1=0$;

• $[0,0]$ i $[3,1]$ są ortogonalne (ale nie są prostopadłe), gdyż

  $[0,0]\circ [3,1]=0\cdot 3+0\cdot 1=0$.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest tutaj przestrzeń L²[a,b], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale [a,b] o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów f i g z tej przestrzeni wyraża się wzorem

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt$.

Jeżeli [a,b]=[-π,π], to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w analizie harmonicznej jest rodzina

$\left\{{1 \over {\sqrt {2\pi }}},{\sin nx \over {\sqrt {\pi }}},{\cos nx \over {\sqrt {\pi }}}\colon n\in \mathbb {N} \right\}$.

Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• macierz ortogonalna,
• ortogonalizacja Grama-Schmidta,
• ortonormalność,
• dopełnienie ortogonalne,
• operator ortogonalny.