Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
WP:SK, redakcyjne, merytoryczne, źródło, int., poprawa linków |
m →Teoria prawdopodobieństwa: drobne redakcyjne |
||
Linia 19: | Linia 19: | ||
; Przypadek wielowymiarowy: |
; Przypadek wielowymiarowy: |
||
Niech <math> X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s </math> będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych <math> (X_n)_{n\in {\mathbb N}} </math> jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora <math> X </math>, jeżeli |
Niech <math> X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s </math> będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych <math> (X_n)_{n\in {\mathbb N}} </math> jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora <math> X </math>, jeżeli |
||
: <math> \bigwedge\limits_{\ |
: <math> \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} \{ \omega \in \Omega : || X_k(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1 , </math> |
||
gdzie <math> || \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty) </math> oznacza [[Przestrzeń unormowana|normę euklidesową]] w <math> \mathbb{R}^s . </math> |
gdzie <math> || \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty) </math> oznacza [[Przestrzeń unormowana|normę euklidesową]] w <math> \mathbb{R}^s . </math> |
||
Wersja z 19:37, 7 lip 2009
Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.
Definicja
Teoria miary
Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech będzie miarą. Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz .
Mówimy, że ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji (względem miary na zbiorze ), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór mierzalny taki, że
- dla
Ciąg funkcji jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji , jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji poza zbiorem miary zero.
Teoria prawdopodobieństwa
Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.
- Przypadek jednowymiarowy
Niech będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej , jeżeli
- Przypadek wielowymiarowy
Niech będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora , jeżeli
gdzie oznacza normę euklidesową w
Uwagi
- Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
- Zdanie: „ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
Własności
- Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
- Jeśli miara jest σ-skończona oraz ciąg jest -prawie wszędzie zbieżny do funkcji , to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.
Zobacz też
- zbieżność według miary
- zbieżność według rozkładu
- twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
- twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej
Bibliografia
- Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.