Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
LaaknorBot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: nn:Ortogonalitet |
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki |
||
Linia 28: | Linia 28: | ||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]], |
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]], |
||
* [[macierz ortogonalna]], |
* [[macierz ortogonalna]], |
||
* [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]], |
* [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]], |
Wersja z 19:50, 27 mar 2010
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).
Definicja
Elementy przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym nazywamy ortogonalnymi, gdy
- .
Zdanie elementy i są ortogonalne zapisuje się krótko . Podzbiór nazywamy ortogonalnym, gdy każde dwa różne elementy tego zbioru są ortogonalne. Zbiory o tej własności często nazywane są układami ortogonalnymi.
- Uwaga
- Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, mówi się o prostopadłości danych wektorów, choć przypadek wektora zerowego pokazuje, że intuicje geometryczne nie zawsze są w tym przypadku pomocne.
Przykłady
Przestrzenie euklidesowe
W przestrzeni euklidesowej (ze standardowym iloczynem skalarnym oznaczonym tutaj symbolem ) wektory
- i są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ
- ;
- i są ortogonalne (ale nie są prostopadłe), gdyż
- .
Przestrzenie funkcyjne
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest tutaj przestrzeń L2[a,b], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale [a,b] o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów f i g z tej przestrzeni wyraża się wzorem
- .
Jeżeli [a,b]=[-π,π], to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w analizie harmonicznej jest rodzina
- .
Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.