Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m robot dodaje: th:อาวัตนาการ |
Luckas-bot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: es:Involución (matemática) |
||
Linia 74: | Linia 74: | ||
[[de:Involution (Mathematik)]] |
[[de:Involution (Mathematik)]] |
||
[[en:Involution (mathematics)]] |
[[en:Involution (mathematics)]] |
||
[[es:Involución (matemática)]] |
|||
[[eo:Involucio]] |
[[eo:Involucio]] |
||
[[fr:Involution (mathématiques)]] |
[[fr:Involution (mathématiques)]] |
Wersja z 20:39, 22 kwi 2010
Definicja
Inwolucja – w matematyce to funkcja , która jest funkcją odwrotną do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego należącego do dziedziny funkcji zachodzi warunek dla każdego .
Ogólniej, w teorii kategorii morfizm nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy (czyli, gdy złożenie dwóch funkcji jest identycznością na zbiorze X).
Własności
- Każda inwolucja jest bijekcją (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
- Dla dowolnego k naturalnego mamy:
przy dowolnym z dziedziny .
Podobnie oraz dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego .
- Niech X oraz Y będą dowolnymi zbiorami. Niech F := F(X, Y) bedzie zbiorem wszystkich funkcji zbioru X w zbiór Y. Niech s : Y → Y będzie inwolucją. Wtedy funkcja S : F → F, dana wzorem:
dla dowolnego f ε F, jest inwolucją. Podobnie, niech Z będzie zbiorem, oraz G := F(Y, Z). Zdefiniujmy T : G → G za pomocą wzoru:
dla dowolnego g ε G. Wtedy T : G → G jest inwolucją.
Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.
Przykłady
- Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe.
- Inwolucją jest funkcja s : A × A → A × A, kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:
- s(x, y) := (y, x) dla każdego (x, y) ε A × A.
Zbiorem punktów stałych inwolucji s jest przekątna
- Δ A := { (x, x) : x ε A }.
Wiele inwolucji jest indukowanych przez opisaną wyżej inwolucję s, na przykład transpozycja macierzy (samo s jest z kolei indukowane przez transpozycję zbioru 2-elementowego. t.zn. 2 osi).
- Zmiana znaku jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
- Odwrotność jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.
- W geometrii inwolucjami są symetrie (osiowa, środkowa) oraz inwersja
- W rachunku zbiorów inwolucją jest dopełnienie zbioru.
- W rachunku zbiorów różnica symetryczna z ustalonym zbiorem. (bo ). Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
- W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
- W zbiorze liczb zespolonych (a także kwaternionów) inwolucją jest sprzężenie.
- W algebrze boole'a inwolucją jest dopełnienie. Wynika to z prawa podwójnego przeczenia.
- W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie, macierz odwrotna.
Geometria
W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie zwierciadlane, osiowe, środkowe, a także inwersja. Izometrie zwierciadlane zmieniają orietację przestrzeni. Izometria środkowa zmienia orientację nieparzystowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale zachowuje parzystowymiarowej.
Twierdzenie (Bourbaki). Każda izometria n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n+1 symetrii zwierciadlanych.
Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby – zmieniają.
Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład [1].
Teoria grup
Inwolucją nazywamy element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).
Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.
- Permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. Każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji.
- Grupy Coxetera są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2). [2]