Równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe jest to równanie, które wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y$, której pochodne spełniają to równanie. Na przykład równanie różniczkowe $y''+y=0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y=A\cos {x}+B\sin {x}$, gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

• równania różniczkowe zwyczajne – w których szukamy funkcji jednej zmiennej
• równania różniczkowe cząstkowe – w których szukamy funkcji wielu zmiennych

Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych o których wiadomo że mają rozwiązanie często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego.

Przykłady równań różniczkowych w różnych dziedzinach

• równania opisujące zasady dynamiki Newtona
• równania Hamiltona w mechanice klasycznej
• równania związane z okresem połowicznego rozpadu izotopów w fizyce jądrowej
• równania opisujące konwekcję swobodną w termodynamice
• równanie falowe
• równania Maxwella
• równanie przewodnictwa cieplnego w termodynamice
• równanie Laplace'a opisujące harmoniki
• równanie Poissona
• równanie Einsteina w teorii względności
• równanie Schrödingera w mechanice kwantowej
• równanie Naviera–Stokesa w mechanice płynów
• równania Cauchy'ego-Riemanna w analizie zespolonej
• równanie Poissona–Boltzmanna

Zobacz też

• rachunek różniczkowy
• równanie różniczkowe zupełne
• metoda Eulera
• zagadnienie Cauchy'ego (zagadnienie początkowe)