Równania Naviera-Stokesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równania Naviera-Stokesa (nazwane na cześć Claude’a-Louis Naviera i George’a Gabriela Stokesa) – zestaw równań opisujących zasadę zachowania pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od sił masowych, zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.

Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie jest proporcjonalne do gradientu ciśnienia.

Równania są wyrażone w postaci różniczkowej, dla danego problemu fizycznego muszą być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce, jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane analitycznie, np. przypadki nieturbulentnego (laminarnego), stacjonarnego przepływu (nie zmieniającego się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość[1].

W bardziej złożonych przypadkach, takich jak systemy prognozowania pogody na Ziemi, takie jak El Niño lub obliczenia siły nośnej skrzydeł samolotów, rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą być znalezione jedynie metodami numerycznymi przy pomocy komputerów. Jest to oddzielna dziedzina nauki zwana obliczeniową mechaniką płynów.

W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya ogłosił równania Naviera-Stokesa jednym z siedmiu problemów milenijnych matematyki i zaoferował 1 000 000 dolarów nagrody za podanie rozwiązania lub kontrprzykładu[1].

Ogólna forma równań[edytuj | edytuj kod]

Ogólna forma równań Naviera-Stokes’a[2] w kartezjańskim układzie współrzędnych (dwa ostatnie człony po prawej stronie równania wynikają z uwzględnienia niestałości lepkości w obrębie przepływu – bardziej uproszczone formy równań Naviera-Stokesa znajdują się w sekcji #Dodatkowe założenia):

gdzie:

  • gęstość płynu,
  • – wektor prędkości,
  • – wektor sił masowych działających na płyn, np. przyspieszenie ziemskie,
  • = [ Pa ] – ciśnienie,
  • lepkość dynamiczna (powyższe równania uwzględniają że nie jest ona stałą tylko jest różna dla różnych punktów przepływu),
  • lepkość objętościowa (powyższe równania uwzględniają że nie jest ona stałą tylko jest różna dla różnych punktów przepływu),
  • wektorowy operator Laplace’a (nie mylić ze skalarnym operatorem Laplace’a, który akurat w układzie kartezjańskim, wykonany na osobno na każdej składowej wektora, jest mu równoważny (ale już nie np. w układzie cylindrycznym)). W kartezjańskim układzie dostajemy taki wektor:
  • operator nabla, poniżej przykłady użycia w kontekście gradientu i dywergencji:
gradient prędkości (rozwinięty w kartezjańskim układzie współrzędnych, gdzie np. ),
wyrażenie takiej postaci to gradient z dywergencji prędkości w kartezjańskim układzie współrzędnych (jest to wektor, gdyż dywergencja prędkości to skalar, a gradient ze skalaru to wektor), gdzie oznaczenie np.
dywergencja prędkości,
gradient ciśnienia,

Postać w kartezjańskim układzie współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

gdzie użyto oznaczeń pochodnych cząstkowych oraz

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Wyprowadzenie rozpoczyna się od równania pędu Cauchy’ego zapisanego w kartezjańskim układzie współrzędnych (upraszczający obliczenia i stanowiącym punkt wyjścia dla innych układów wsp.) dla którego gdzie w ostatniej równości po prawej działania możemy traktować jak mnożenie/transpozycje wektorów i macierzy (co również będziemy wykorzystywali w dalszej części wyprowadzenia)[3]:

Aby otrzymać równania Naviera-Stokesa należy poczynić założenia w celu zamodelowania tensora naprężeń . Zwyczajowo tensor naprężenia dzieli się na dwie części:

gdzie to macierz jednostkowa. Gdy płyn jest nieruchomy w polu sił, to tensor zeruje się natomiast ciśnienie p niekoniecznie.

W oznaczeniach poniżej przyjmuje się, że oraz . Ponadto będziemy stosować konwencję sumacyjną Einsteina.

Założenie 1

Równania opisują płyn newtonowski, tzn. tensor jest liniową funkcją gradientu prędkości, tzn. ma postać:

gdzie: jest tensorem czwartego rzędu (ma 81 składowych). Ponieważ stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina, więc przed prawą stroną powyższego równania stoją dwa znaki sumy: po indeksie k oraz l.

Założenie 2

Płyn jest izotropowy i jednorodny. Implikuje to że tensor powinien być niezależny od kierunku. Innym znanym tensorem niezależnym od kierunku jest (delta Kroneckera). Delta Kroneckera jest rzędu 2 więc my musimy znaleźć jej odpowiednik, ale rzędu 4. Wprowadźmy więc skalar S będący iloczynem wewnętrznym tensora i czterech wektorów (ponieważ stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina, więc przed prawą stroną równania poniżej stoją cztery znaki sumy: po indeksie i,j,k oraz l.):

Aby skalar S był niezależny od kierunku, nie powinien być zależny od bezwzględnego położenia wektorów , ale powinien zmieniać wartość gdy wektory zmieniają swoje długości lub położenia względem siebie. Zatem skalar S powinien zmieniać wartość, gdy zmieniają się cosinusy kątów między poszczególnymi wektorami (i gdy zmienia się długość wektorów). Funkcją, która to umożliwia jest iloczyn skalarny, wówczas:

Inne dodatkowe funkcje wektorów ponad powyższą, niczego juz nie wniosą. Zatem rozpisując iloczyny skalarne, mamy:

przekształcając dalej:

zatem tensor , aby był izotropowy, musi mieć postać:

Założenie 3

Symetria tensora naprężeń tj. . Badając równowagę elementarnego sześcianu, zakładając, że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909)[4], można dowieść że tensor naprężenia jest symetryczny. Jednak w ogólności tak nie jest i np. dla płynów polarnych w polu elektromagnetycznym takie założenie jest błędne. Równania Naviera-Stokesa nie uwzględniają tego typu płynów, ale za to uwzględniają szeroką klasę płynów powszechnie używanych. Zatem:

Podstawiając wyprowadzoną postać tensora pod lewą i prawą stronę równania, otrzymamy:

i dalej:

co prowadzi do:

Ponieważ w szczególności ta równość musi zachodzić dla np. to mamy:

Zatem

Podstawiając to do tensora otrzymujemy:

Zamieniając nazwy parametrów na powszechnie używane, tj.: oraz do tensora w tensorze mamy:

Po uwzględnieniu działania delty Kroneckera otrzymamy:

Ostatecznie tensor naprężenia można zapisać, używając operatorów następująco (literka T w górnym indeksie oznacza transpozycję macierzy):

W ten sposób doszliśmy do końca definicji modelu i jest to właściwie koniec wyprowadzenia. Podstawiając taką formę tensora naprężeń do równania pędu Cauchy’ego, otrzymamy równania Naviera-Stokesa.

Jednak aby wszystko było w pełni jasne, dokonamy ten krok podstawienia. Wyliczmy dywergencję transponowaną z korzystając z faktu że w układzie kartezjańskim możemy ją wyliczyć jako mnożenie wektora z macierzą:

W przejściu do ostatniej równości skorzystaliśmy z przemienności mnożenia skalaru przez macierz. Rozpisując dokładnie wszystkie operatory (na postać pochodnych cząstkowych), można sprawdzić, że prawdziwy jest poniższy ciąg równości (uwaga! uwzględniono tu, że lepkości są funkcjami zależnymi od położenia, a nie stałymi):

Zatem podstawiając pod równanie Cauchy’ego, mamy:

Rozpisując pochodną substancjalną z lewej strony, otrzymamy formę równania taką jak w sekcji #Ogólna forma równań.

Dodatkowe założenia[edytuj | edytuj kod]

Możemy dodać kolejne założenie:

Założenie 4

Doświadczalnie wyznaczona zależność (tr to ślad macierzy)

która jest dokładna dla gazów jednoatomowych, ale w praktyce znajduje zastosowanie do znacznie szerszej klasy płynów. Szczególnie gdy płyn jest prawie nieściśliwy, bo wówczas i człon z w równaniach Naviera-Stokesa przestaje mieć znaczenie. Jeżeli teraz wyliczymy ślad z tensora to otrzymamy:

co po podstawieniu i rozwinięciu daje:

Zatem:

Więc:

Po podstawieniu tej zależności do równań Naviera-Stokesa przybiorą one postać:

Założenie 5

Jeżeli przyjmiemy, że lepkość jest stała (lepkość silnie zależy od temperatury, więc gdy rozpatrujemy „płyn zimny” (bez uwzględniania równania energii), to wówczas taka sytuacja może mieć miejsce), to wówczas i równania upraszczają się do postaci:

Założenie 6

Przyjmując, że płyn jest nieściśliwy otrzymamy:

Założenie 7

Jeżeli całkowicie pominiemy lepkość tj. to otrzymamy równania Eulera:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Millennium Prize Problems (ang.). Clay Mathematics Institute. [dostęp 2011-01-07].
  2. Joe Pedlosky: Fluid Dynamics of the Atmosphere and Ocean. Woods Hole Oceanographic Institution, 2014, s. rozdział 3, s. 27.
  3. Joe Pedlosky: Fluid Dynamics of the Atmosphere and Ocean. Woods Hole Oceanographic Institution, 2014, s. rozdział 3, s. 16–21.
  4. Andrzej Gawęcki: Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych. Alma Mater, 2003, s. część 1, s. 3, 10.