Gra w chaos

Liść paproci wygenerowany przy pomocy gry w chaos

Gra w chaos – algorytm komputerowego generowania obrazów pewnych fraktali. Generuje on przybliżony obraz atraktora lub punktu stałego dowolnego systemu funkcji iterowanych.

Algorytm

Zaczynając od pewnego punktu $x_{0},$ kolejne iteracje są dane przy pomocy wzoru $x_{n+1}=f_{i}(x_{n}),$ gdzie $f_{i}(x)$ jest jedną z funkcji iterowanych wybieraną niezależnie i losowo dla każdej iteracji. Iteracje zbiegają się do punktu stałego systemu funkcji iterowanych. Jeżeli wartość początkowa $x_{0}$ należy do atraktora systemu funkcji iterowanych, wówczas wszystkie punkty $x_{n}$ również należą do tego atraktora i z prawdopodobieństwem 1 tworzą w nim zbiór gęsty. Prawdziwy jest znacznie ogólniejszy rezultat.

Twierdzenie o grze w chaos (zob.): Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś ${\mathcal {F}}=\{f_{i}\}_{i=1}^{m}$ iterowanym układem funkcyjnym (IFS) złożonym z przekształceń zwężających $f_{i}\colon X\to X.$ Niech $x_{n+1}=f_{i_{n}}(x_{n})$ będzie orbitą startującą w dowolnym punkcie $x_{0}\in X.$ Wówczas atraktor $A$ układu ${\mathcal {F}}$ (który istnieje w myśl twierdzenia Hutchinsona) odtwarzany jest przez zbiór punktów skupienia $\omega ((x_{n}))=\bigcap _{k=1}^{\infty }{\overline {\{x_{n}:n\geqslant k\}}}$ orbity $x_{n}{:}$

• (wersja probabilistyczna) $A=\omega ((x_{n}))$ z prawdopodobieństwem 1, jeśli tylko ciąg $i_{n},n=1,2,\dots ,$ sterujący wyborem funkcji w n-tym kroku iteracji, jest losowany z użyciem schematu Bernoulliego na zbiorze $\{1,\dots ,m\};$
• (wersja zderandomizowana) $A=\omega ((x_{n})),$ jeśli tylko ciąg $i_{n},n=1,2,\dots ,$ jest dyzjunktywny nad alfabetem $\{1,\dots ,m\},$ tzn. dowolny łańcuch skończony nad $\{1,\dots ,m\}$ pojawia się w $i_{n}.$

W przypadku układów kontrakcji wariant probabilistyczny twierdzenia o grze w chaos (używający schematu Bernoulliego) wynika z wariantu dyzjunktywnego. Dzieje się tak, gdyż schemat Bernoulliego generuje ciągi dyzjunktywne prawie na pewno.

Przykład dla trójkąta Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego

Na początku stawia się na płaszczyźnie 3 dowolne punkty (powinny być niewspółliniowe, gdyż inaczej fraktal zdegeneruje się do odcinka), po czym wybiera sobie kolejny punkt płaszczyzny, zwany punktem gry (game point). Następnie wybiera się dowolny z trzech punktów obranych na samym początku (można je oznaczyć 1, 2 i 3, po czym korzystając z generatora liczb losowych, wybierać je) i stawia punkt w połowie odległości między czwartym punktem a tym wybranym. Powtarza się ten krok, za każdym razem oznaczając punkt leżący dokładnie w połowie odległości między ostatnio postawionym a jednym z trzech pierwszych.

Efektem algorytmu – zakładając, że punkty były losowane z mniej więcej takim samym prawdopodobieństwem – jest pewien wariant trójkąta Sierpińskiego. Jego wierzchołkami są trzy punkty wybrane na samym początku gry.

Implementacja

Poniższy przykład (w języku Python) generuje trójkąt Sierpińskiego przy użyciu gry w chaos, korzystając z biblioteki pygame.

from random import *
sqr = lambda a:a*a
import pygame
scr = pygame.display.set_mode([501, 501])

cnt = 3

pts = (
    0 + 500j,
    500 + 500j,
    250 + 0j,
)

colors = (
    (255, 0, 0),
    (0, 255, 0),
    (0, 0, 255)
)

ind = randrange(cnt)
pt = pts[ind]
color = colors[ind]
div = 2

for i in range(100000):
    pygame.draw.rect(scr, color, [pt.real, pt.imag, 2, 2])
    newind = randrange(cnt)
    pt = (pt + pts[newind]) / div
    color = colors[newind]
pygame.display.flip()

while True:
    key = pygame.event.poll()
    if key.type == pygame.KEYDOWN and key.key == pygame.K_ESCAPE:
        pygame.quit()
        break
    pygame.time.delay(100)

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• kostka Mengera