Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m drobne redakcyjne (najpierw wprowadzamy grupę, a potem nazywamy jej elementy liczbami?) |
|||
Linia 14: | Linia 14: | ||
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej. |
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej. |
||
Jeżeli w [[grupa (matematyka)grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający |
Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający |
||
:<math>a \leqslant b \implies a + c \leqslant b + c</math> |
:<math>a \leqslant b \implies a + c \leqslant b + c</math> |
||
to |
to |
Wersja z 10:23, 18 maj 2009
Liczba przeciwna do danej liczby to taka liczba że zachodzi:
gdzie jest elementem zerowym działania dodawania.
W szczególności:
- liczbą przeciwną do zera jest zero.
- liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.
W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.
Uogólnienie na grupy uporządkowane
Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy spełniający
to
- elementy dla których , nazywamy niedodatnimi
- elementy dla których , nazywamy nieujemnymi
- elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
- elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
- element przeciwny do dodatniego jest ujemny
- element przeciwny do ujemnego jest dodatni
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.