Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Luckas-bot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: es:Involución (matemática) |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Grafika:Involution.svg|right|thumb|]] |
[[Grafika:Involution.svg|right|thumb|]] |
||
== Definicja == |
== Definicja == |
||
'''Inwolucja''' – w matematyce to funkcja <math> f |
'''Inwolucja''' – w matematyce to funkcja <math> f\colon X \to X</math>, która jest [[Funkcja odwrotna|funkcją odwrotną]] do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego <math>x\;</math> należącego do [[dziedzina funkcji|dziedziny funkcji]] <math>f\;</math> zachodzi warunek <math>f(f(x))=x\;</math> dla każdego <math>x\in X</math>. |
||
Ogólniej, w [[teoria kategorii|teorii kategorii]] morfizm <math>i |
Ogólniej, w [[teoria kategorii|teorii kategorii]] morfizm <math>i\colon X \to X</math> nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy <math>i\circ i = 1_X</math> (czyli, gdy złożenie dwóch morfizmów <math>i\;</math> jest [[Odwzorowanie tożsamościowe|identycznością]] na zbiorze <math>X\;</math>). |
||
== Własności == |
== Własności == |
||
Linia 18: | Linia 18: | ||
::<math>S(f)\; :=\; s \circ f</math> |
::<math>S(f)\; :=\; s \circ f</math> |
||
dla dowolnego f |
dla dowolnego <math>f\in F</math>, jest inwolucją. Podobnie, niech Z będzie zbiorem, oraz G := F(Y, Z). Zdefiniujmy T : G → G za pomocą wzoru: |
||
::<math>T(g)\; :=\; g \circ s</math> |
::<math>T(g)\; :=\; g \circ s</math> |
||
dla dowolnego g |
dla dowolnego <math>g\in G</math>. Wtedy <math>T\colon G\to G</math> jest inwolucją. |
||
Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii. |
Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii. |
Wersja z 21:52, 26 kwi 2010
Definicja
Inwolucja – w matematyce to funkcja , która jest funkcją odwrotną do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego należącego do dziedziny funkcji zachodzi warunek dla każdego .
Ogólniej, w teorii kategorii morfizm nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy (czyli, gdy złożenie dwóch morfizmów jest identycznością na zbiorze ).
Własności
- Każda inwolucja jest bijekcją (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
- Dla dowolnego k naturalnego mamy:
przy dowolnym z dziedziny .
Podobnie oraz dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego .
- Niech X oraz Y będą dowolnymi zbiorami. Niech F := F(X, Y) bedzie zbiorem wszystkich funkcji zbioru X w zbiór Y. Niech s : Y → Y będzie inwolucją. Wtedy funkcja S : F → F, dana wzorem:
dla dowolnego , jest inwolucją. Podobnie, niech Z będzie zbiorem, oraz G := F(Y, Z). Zdefiniujmy T : G → G za pomocą wzoru:
dla dowolnego . Wtedy jest inwolucją.
Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.
Przykłady
- Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe.
- Inwolucją jest funkcja s : A × A → A × A, kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:
- s(x, y) := (y, x) dla każdego (x, y) ε A × A.
Zbiorem punktów stałych inwolucji s jest przekątna
- Δ A := { (x, x) : x ε A }.
Wiele inwolucji jest indukowanych przez opisaną wyżej inwolucję s, na przykład transpozycja macierzy (samo s jest z kolei indukowane przez transpozycję zbioru 2-elementowego. t.zn. 2 osi).
- Zmiana znaku jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
- Odwrotność jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.
- W geometrii inwolucjami są symetrie (osiowa, środkowa) oraz inwersja
- W rachunku zbiorów inwolucją jest dopełnienie zbioru.
- W rachunku zbiorów różnica symetryczna z ustalonym zbiorem. (bo ). Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
- W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
- W zbiorze liczb zespolonych (a także kwaternionów) inwolucją jest sprzężenie.
- W algebrze boole'a inwolucją jest dopełnienie. Wynika to z prawa podwójnego przeczenia.
- W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie, macierz odwrotna.
Geometria
W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie zwierciadlane, osiowe, środkowe, a także inwersja. Izometrie zwierciadlane zmieniają orietację przestrzeni. Izometria środkowa zmienia orientację nieparzystowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale zachowuje parzystowymiarowej.
Twierdzenie (Bourbaki). Każda izometria n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n+1 symetrii zwierciadlanych.
Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby – zmieniają.
Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład [1].
Teoria grup
Inwolucją nazywamy element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).
Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.
- Permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. Każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji.
- Grupy Coxetera są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2). [2]