Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Definicja

Zmienna dyskretna

Niech $X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.

Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$, to wartość oczekiwana $\mathbb {E} X$ zmiennej losowej $X$ wyraża się wzorem

$\mathbb {E} X=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$.

Jeżeli zmienna $X$ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to wzór na jej wartość oczekiwaną ma $\infty$ w miejsce $n$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny).

Zmienna ciągła

Jeżeli $X$ jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ definiuje się jako całkę

$\mathbb {E} X=\int \limits _{\Omega }Xd\mathbb {P}$

o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:

$\mathbb {E} |X|=\int \limits _{\Omega }|X|d\mathbb {P} <+\infty$.

Własności

Jeśli $X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f(x)$, to jej wartość oczekiwana wynosi

$\mathbb {E} X=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }~xf(x)dx$.

Jeżeli $Y=\varphi (X)$ jest funkcją mierzalną, to

$\mathbb {E} Y=\mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\int \limits _{\mathbb {R} }~\varphi (x)f(x)dx$.

Jeśli istnieją $\mathbb {E} X$ oraz $\mathbb {E} Y$, to:

• $\mathbb {E} c=c$, gdzie $c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
• $\forall _{a,b}\;\mathbb {E} (aX+b)=a\mathbb {E} X+b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
• jeżeli $X,Y$ są niezależne, to $\mathbb {E} (XY)=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y$,
• jeżeli $X\geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb {E} X\geqslant 0$,
• $\mathbb {E} |X|\geqslant |\mathbb {E} X|$.

Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator ${\hat {A}}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową $\psi$ wynosi $\langle {\hat {A}}\rangle =\int \psi ^{*}{\hat {A}}\psi d\tau$ gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać jako: $\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle$.

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej ${\hat {A}}$, czyli wariancja ${\hat {A}}$, wynosi $(\Delta {\hat {A}})^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}$.

Wartość oczekiwana rozkładu normalnego $N(m,\sigma ^{2})$

$E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma }}}e^{\frac {-(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma }}}\int _{-\infty }^{+\infty }xe^{-{\big (}{\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }}{\big )}^{2}}dx=^{*}$

$y={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }}\Rightarrow x=y{\sqrt {2}}\sigma +m$ (a więc granice całkowania nie zmieniają się)

$dy={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }}dx\Rightarrow dx={\sqrt {2}}\sigma dy$

$=^{*}{\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{+\infty }(y{\sqrt {2}}\sigma +m)e^{-y^{2}}{\sqrt {2}}\sigma dy={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(y{\sqrt {2}}\sigma +m)e^{-y^{2}}dy=$



$={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}{\sqrt {2}}\sigma \int _{-\infty }^{+\infty }ye^{-y^{2}}dy+m\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy{\Bigg )}={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }ye^{-y^{2}}dy{\Bigg )}_{=0}^{(1)}+{\frac {m}{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy{\Bigg )}_{={\sqrt {\pi }}}^{(2)}=$



$={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sqrt {\pi }}}\cdot 0+{\frac {m}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\sqrt {\pi }}=m$

$(1)=\int _{-\infty }^{+\infty }ye^{-y^{2}}dy={\frac {1}{2}}\int _{+\infty }^{+\infty }e^{-z}dz=0$

$z=y^{2}$ (granice całkowania się zmieniają)

$dz=2ydy\Rightarrow dy={\frac {dz}{2y}}$

$(2)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy$ - całka Poissona

Zobacz też

• średnia arytmetyczna
• wariancja
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• warunkowa wartość oczekiwana