Następnik liczby porządkowej

Następnik liczby porządkowej – podstawowa operacja przeprowadzana na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Definicja

Następnikiem liczby porządkowej $\alpha$ nazywamy liczbę porządkową $\alpha \cup \{\alpha \}$ oznaczaną symbolem $\operatorname {S} (\alpha )$ lub $\alpha +1$. Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej nazywamy liczbą porządkową następnikową.

Uwaga

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby, które nie mają tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi). Przykładami porządkowych liczb granicznych są:

$0,\omega ,\omega +\omega ,\ldots ,\omega \cdot n,\ldots ,\omega ^{2},\ldots ,\omega ^{m},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\ldots }}},\ldots$.

gdzie n i m są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Własności

• Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy $\alpha$ i $\operatorname {S} (\alpha )$,
• Jeśli $\alpha \in \operatorname {S} (\alpha )$, to $\alpha \subset \operatorname {S} (\alpha )$ (zob. zbiór tranzytywny).

Przykłady

• $\operatorname {S} (\varnothing )=\{\varnothing \}$ (tu: $\varnothing =0$)
• $\operatorname {S} \left(\{\varnothing \}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}$,
• $\operatorname {S} \left(\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \},\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right\}$.

Bibliografia

1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.brak strony w książce
2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.brak strony w książce

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• arytmetyka liczb porządkowych
• liczba epsilonowa
• paradoks Burali-Fortiego
• zbiór potęgowy