Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Anulowanie wersji nr 29626063 autora 80.50.54.34 fałsz, WP:SK |
Luckas-bot (dyskusja | edycje) m r2.7.1) (Robot dodał nn:Statistisk forventning |
||
Linia 73: | Linia 73: | ||
[[ja:期待値]] |
[[ja:期待値]] |
||
[[no:Forventning]] |
[[no:Forventning]] |
||
[[nn:Statistisk forventning]] |
|||
[[pt:Valor esperado]] |
[[pt:Valor esperado]] |
||
[[ru:Математическое ожидание]] |
[[ru:Математическое ожидание]] |
Wersja z 09:54, 15 lut 2012
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja
Zmienna dyskretna
Niech będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.
Jeżeli dyskretna zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to wartość oczekiwana zmiennej losowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Zmienna ciągła
Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako całkę
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:
- .
Właściwości
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową wynosi , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać: .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi .
Zobacz też
Źródła
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.