Twierdzenie Goldstine’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej BX przestrzeni unormowanej X poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną X**

jest gęsty w kuli jednostkowej BX** przestrzeni X** w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii σ(X**, X*)), tj.

W szczególności, obraz samej przestrzeni X poprzez odwzorowanie κX jest gęsty w X** w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Z wypukłości kuli BX oraz liniowości κX wynika, że obraz κX(BX) jest wypukłym podzbiorem X**. Ponieważ X** z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie κX(BX) jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w BX**, z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą BX** to istniałby funkcjonał φBX**, który nie należy do domknięcia κX(BX). Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał fX* oraz liczba a > 0 o tej własności, że

Z drugiej jednak strony,

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

(bo φ należy do BX**), ale

[2][3]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha X o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni F jej przestrzeni sprzężonej , która jest *-słabo gęsty i dla każdego 0 < r ≤ 1 zbiór

nie jest *-słabo gęsty. Br oznacza kulę w przestrzeni o środku w zerze i promieniu r.[4]

Przypisy

  1. H. H. Goldstine, Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J., 4 (1938) 125–131.
  2. Morrison 2001 ↓, s. 127–128.
  3. Megginson 1998 ↓, s. 232.
  4. J. Diximer, Sur un théorème de Banach. Duke Math. J. 15 (1948), ss. 1057-1071.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  2. Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001.
  3. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.