Twierdzenie Goldstine’a

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej $B_{X}$ przestrzeni unormowanej $X$ poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{**}$

$\kappa _{X}\colon X\to X^{**},\langle \kappa _{X}x,f\rangle =\langle f,x\rangle \quad (x\in X,f\in X^{*})$

jest gęsty w kuli jednostkowej $B_{X^{**}}$ przestrzeni $X^{**}$ w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii $\sigma (X^{**},X^{*})$), tj.

${\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}=B_{X^{**}}.$

W szczególności, obraz samej przestrzeni $X$ poprzez odwzorowanie $\kappa _{X}$ jest gęsty w $X^{**}$ w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku.

Dowód

Z wypukłości kuli $B_{X}$ oraz liniowości $\kappa _{X}$ wynika, że obraz $\kappa _{X}(B_{X})$ jest wypukłym podzbiorem $X^{**}.$ Ponieważ $X^{**}$ z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie $\kappa _{X}(B_{X})$ jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w $B_{X^{**}},$ z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą $B_{X^{**}},$ to istniałby funkcjonał $\varphi \in B_{X^{**}},$ który nie należy do domknięcia $\kappa _{X}(B_{X}).$ Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał $f\in X^{*}$ oraz liczba $a>0$ o tej własności, że

$\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle >a>\sup {\big \{}\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle \colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}=\sup {\big \{}|\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}.$

Z drugiej jednak strony,

${\begin{aligned}&\sup {\big \{}|\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}\\={}&\sup {\big \{}|\langle x,f\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}\\\geqslant {}&\sup {\big \{}|\langle x,f\rangle |\colon x\in \kappa _{X}(B_{X}){\big \}}\\={}&\sup {\big \{}|\langle f,x\rangle |\colon x\in B_{X}{\big \}}\\={}&\|f\|.\end{aligned}}$

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

$|\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle |\leqslant |\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle |=|\langle \varphi ,f\rangle |\leqslant \|\varphi \|\cdot \|f\|\leqslant \|f\|$

(bo $\varphi$ należy do $B_{X^{**}}$), ale

$\|f\|<\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle$.

Uwagi

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha $X$ o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni $F$ jej przestrzeni sprzężonej $X^{*},$ która jest *-słabo gęsty i dla każdego $0<r\leqslant 1$ zbiór

$B_{r}\cap F$

nie jest *-słabo gęsty. $B_{r}$ oznacza kulę w przestrzeni $X^{*}$ o środku w zerze i promieniu $r$.

Bibliografia

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183. Brak numerów stron w książce
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1. Brak numerów stron w książce
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce