Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przykład zbioru wypukłego (kolor turkusowy) w który spełnia założenia twierdzenia Minkowskiego.

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych – twierdzenie geometrii wypukłej mówiące, że każdy zbiór wypukły w przestrzeni euklidesowej który jest symetryczny względem zera oraz którego objętość -wymiarowa jest większa niż zawiera niezerowy punkt kratowy, tj. taki punkt kratowy, którego przynajmniej jedna ze współrzędnych jest niezerową liczbą całkowitą[1]. Twierdzenie udowodnione przez niemieckiego matematyka, Hermanna Minkowskiego. Rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego jest twierdzenie Blichfeldta[2].

Wersja twierdzenia dla ogólniejszych krat w przestrzeni euklidesowej[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych ma ogólniejszą formę dotyczącą bardziej ogólnych podkrat przestrzeni euklidesowej.

Niech będą liniowo niezależnymi wektorami w Zbiór

nazywany jest kratą generowaną przez Niech będzie równoległościanem generowanym przez Twierdzenie Minkowskiego można sformułować dla kraty

Niech będzie zbiorem wypukłym w który jest symetryczny względem 0 oraz niech będzie kratą w Jeżeli

to zawiera punkt należący do różny od 0, tj.

[3].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • W przypadku, gdy zbiór jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:
jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąć[3]. Istotnie, niech będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru wynosi jednak nie zawiera punktów kratowych innych niż [4].
  • Objętość -wymiarowa wynosi tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Najpierw wykażemy, że wśród zbiorów postaci

pewne dwa mają niepustą część wspólną.

W tym celu przypuśćmy, że jest przeciwnie tj. że są ona parami rozłączne. Wówczas również zbiory

byłyby parami rozłączne, a więc z σ-addytywności miary zachodziłaby nierówność

Mamy jednak

a więc

Rodzina

jest pokryciem całej przestrzeni a więc w szczególności zbioru Ostatecznie,

co prowadzi do sprzeczności z założeniem twierdzenia.

Stąd dla pewnych dwóch różnych punktów zbiory

mają niepusty przekrój i niech

To oznacza, że

dla pewnych Odejmując stronami, dostaniemy

przy czym relacja należenia wynika z wypukłości i symetrii względem 0 zbioru Szukanym punktem kratowym zbioru jest

[3].

Dowód w oparciu o twierdzenie Blichfeldta[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: twierdzenie Blichfeldta.

Objętość -wymarowa zbioru wynosi a więc z założenia

a zatem twierdzenie Blichfeldta stosuje się do Istnieją zatem takie dwa różne punkty że

Ponieważ zbiór jest symetryczny względem 0, element należy do Z wypukłości zbioru

[2].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Koch 2000 ↓, s. 56.
  2. a b Wójcik 1975 ↓, s. 22.
  3. a b c Neukirch 1999 ↓, s. 27.
  4. Stein i Szabó 1994 ↓, s. 14.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]