Twierdzenie Ptolemeusza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie w geometrii klasycznej, opisujące zależność pomiędzy bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Jego sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi, astronomowi i matematykowi starożytnemu. Twierdzenie to pojawia się w dziele Almagest [1].

Treść twierdzenia[edytuj]

W dowolnym czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków[2][3]:
(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Dowody[edytuj]

Dowód geometryczny[edytuj]

Ptolemy's theorem.svg

Weźmy dowolny czworokąt wpisany w okrąg. Umieśćmy punkt na przekątnej tak, że półprosta przecina przekątną tak, aby . W wyniku tego otrzymaliśmy trójkąty i .

Z konstrukcji wynika, że oraz , ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty i są więc podobne, dzięki czemu otrzymujemy

,

skąd

(2)

Trójkąty i , mające równe kąty i oraz kąty i (kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Odpowiednie boki są więc do siebie proporcjonalne:

,

a zatem

(3)

Sumując ze sobą równości (2) oraz (3), otrzymujemy

,

co w konsekwencji daje

i ostatecznie

,

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie[3][4]. Załóżmy, że w czworokącie zachodzi (1). Znajdźmy taki punkt , spełniający warunki

oraz .

Dzięki temu wnioskujemy, że trójkąty oraz są podobne i zachodzi

.

Z drugiej strony, ponieważ oraz

trójkąty i są do siebie podobne.

Dzięki temu wnioskujemy, że zachodzą (2) oraz (3). Łącząc je, otrzymujemy

Z założenia wynika jednak, że , co oznacza, że punkt leży na odcinku . Ale wtedy

,

co oznacza, że wierzchołki i leżą na tym samym okręgu, co i

Dowód trygonometryczny[edytuj]

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Każdy inny przypadek można sprowadzić do tego poprzez odpowiednie przekształcenia: translację i skalowanie. Każdy z wierzchołków czworokąta można wtedy przedstawić w postaci

gdzie jest kątem pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem . Możemy również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do obiegu wskazówek zegara, tzn. zachodzi

.

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych and , to ich odległość euklidesowa wynosi

Jeśli jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to wzór ten przyjmuje postać

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

przyjmie wtedy postać

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

.

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co będzie dowodziło jej prawdziwości.

Dowód przy użyciu inwersji[edytuj]

Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.

Rozpatrzmy czworokąt wpisany w okrąg [5][6]. Przekształćmy punkty oraz poprzez inwersję względem nowego okręgu o środku w punkcie i pewnym promieniu . Jako, że punkty te leżą na okręgu , który przechodzi przez środek okręgu , ich obrazy i będą współliniowe[7]. Wynika z tego, że

.
(4)

Zauważmy teraz, że jeśli dwa punkty i zostaną przekształcone przez inwersję względem okręgu o promieniu , to zachodzić będzie[6]

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków , i otrzymamy

(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4), otrzymamy

z której po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wynika teza.

Powyższe rozumowanie jest jednocześnie dowodem twierdzenia odwrotnego: jeśli założymy, że w czworokącie zachodzi zależność (1) i ponownie wykonamy inwersję punktów i względem pewnego okręgu o środku w , to otrzymamy równość (4), z której wynika, że punkty i są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty i będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez , co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioski[edytuj]

Nierówność Ptolemeusza[edytuj]

Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie[8][6]:

Jeśli jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
(10)
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest wpisany w okręgu.

Dowód powyższej nierówności opiera się o inwersję[5] i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako, że punkty i nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy niekoniecznie współliniowe punkty i . Punkty te będą spełniały nierówność trójkąta

,

przy czym równość w niej zachodzić będzie, gdy punkty te będą współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach otrzymamy nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, zachodzącego w dowolnym czworokącie [3]:

Gdy czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego i po prawej stronie mamy sumę kwadratów.

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj]

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:

Bibliografia[edytuj]

  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X