Twierdzenie Ptolemeusza
Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie planimetrii wiążące boki i przekątne czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele Almagest[1] .
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]- W dowolnym czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków[2][3][4]:
(1) |
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:
- Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.
Dowody
[edytuj | edytuj kod]Dowód geometryczny
[edytuj | edytuj kod]Niech dany będzie czworokąt wpisany w okrąg oraz punkt leżący na przekątnej tak, by półprosta przecinała przekątną przy zachowaniu równości kątów Wówczas otrzymuje się trójkąty i
Z konstrukcji wynika, że oraz ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty i są więc podobne, dzięki czemu
skąd
(2) |
Trójkąty i są podobne, gdyż mają równe kąty i oraz kąty i (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:
a zatem
(3) |
Po zsumowaniu stronami równości (2) oraz (3) otrzymuje się
co w konsekwencji daje
i ostatecznie
co należało wykazać.
- Dowód twierdzenia odwrotnego
Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie[3][5]. Niech w czworokącie zachodzi (1). Należy znaleźć taki punkt który spełnia warunki
- oraz
Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów oraz przy czym
Z drugiej strony, ponieważ oraz
trójkąty i są podobne.
Stąd zachodzą (2) oraz (3), dając
Z założenia wynika jednak, że co oznacza, że punkt leży na odcinku Ale wtedy
czyli wierzchołki i leżą na tym samym okręgu, co i
Dowód trygonometryczny
[edytuj | edytuj kod]Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków czworokąta jako
przy czym oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest
Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych i to ich odległość euklidesowa
Jeśli dla jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako
Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza
przyjmie wtedy postać
Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów
Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.
Dowód inwersyjny
[edytuj | edytuj kod]Niech dany będzie czworokąt wpisany w okrąg [6][7]. Niech dane będą również punkty oraz będące obrazami inwersyjnymi punktów względem nowego okręgu o środku w punkcie i pewnym promieniu Ponieważ punkty leżą na okręgu który przechodzi przez środek okręgu to ich obrazy i będą współliniowe[8]. Wynika stąd, że
(4) |
Dla każdych dwóch punktów i przekształcanych przez inwersję względem okręgu o promieniu zachodzić będzie[7]
Po zastosowaniu tej zależności do odcinków i otrzymuje się
(5) |
Po wstawieniu tych równości do wzoru (4) jest
skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.
- Dowód twierdzenia odwrotnego
Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie zachodzi zależność (1) i zbada inwersję punktów i względem pewnego okręgu o środku w to otrzyma się równość (4), z której wynika, że punkty i są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty i będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez co czyni je współokręgowymi.
Uogólnienia i wnioski
[edytuj | edytuj kod]Nierówność Ptolemeusza
[edytuj | edytuj kod]Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie[9][7]:
- Jeśli jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
(10) |
- przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest wpisany w okrąg.
Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji[6] i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty i nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty i które spełniają nierówność trójkąta
Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność (10).
Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta [3]:
Gdy czworokąt jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:
i ostatecznie
Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Ptolemeusz ↓.
- ↑ Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 42.
- ↑ a b c Bottema 2008 ↓, s. 104.
- ↑ Ptolemeusza twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-29] .
- ↑ Yiu 1998 ↓, s. 148–150.
- ↑ a b Bogomolny ↓.
- ↑ a b c Pedoe 1995 ↓, s. 10–11.
- ↑ Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 109.
- ↑ Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 42,106–107.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
- H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
- H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
- Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
- Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X
- Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Polskojęzyczne
- Bartłomiej Bzdęga , Twierdzenie Ptolemeusza, „Delta”, marzec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-09-30] .
- Obcojęzyczne
- Eric W. Weisstein , Ptolemy's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-03].
- Ptolemeus theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-03].
- A. Bogomolny: Ptolemy by Inversion from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:
- Almagest. Uniwersytet Wiedeński. – łacińskie tłumaczenie z 1515 roku
- Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie. – niemieckie tłumaczenie 1912 roku