Twierdzenie Ptolemeusza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie w geometrii klasycznej opisujące zależność pomiędzy bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele zatytułowanym „Almagest[1].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

W dowolnym czworokącie wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków[2][3]:
(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Dowód geometryczny[edytuj | edytuj kod]

Ptolemy's theorem.svg

Niech dany będzie czworokąt wpisany w okrąg oraz punkt leżący na przekątnej tak, by półprosta przecinała przekątną przy zachowaniu równości kątów Wówczas otrzymuje się trójkąty i

Z konstrukcji wynika, że oraz ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty i są więc podobne, dzięki czemu

skąd

(2)

Trójkąty i są podobne, gdyż mają równe kąty i oraz kąty i (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:

a zatem

(3)

Po zsumowaniu stronami równości (2) oraz (3) otrzymuje się

co w konsekwencji daje

i ostatecznie

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie[3][4]. Niech w czworokącie zachodzi (1). Należy znaleźć taki punkt który spełnia warunki

oraz

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów oraz przy czym

Z drugiej strony, ponieważ oraz

trójkąty i są podobne.

Stąd zachodzą (2) oraz (3), dając

Z założenia wynika jednak, że co oznacza, że punkt leży na odcinku Ale wtedy

czyli wierzchołki i leżą na tym samym okręgu, co i

Dowód trygonometryczny[edytuj | edytuj kod]

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków czworokąta jako

przy czym oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych i to ich odległość euklidesowa

Jeśli dla jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

przyjmie wtedy postać

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

Dowód inwersyjny[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: inwersjageometria inwersyjna.
Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.

Niech dany będzie czworokąt wpisany w okrąg [5][6]. Niech dane będą również punkty oraz będące obrazami inwersyjnymi względem nowego okręgu o środku w punkcie i pewnym promieniu Ponieważ punkty te leżą na okręgu który przechodzi przez środek okręgu to ich obrazy i będą współliniowe[7]. Wynika stąd, że

(4)

Skoro dwa punkty i są przekształcane przez inwersję względem okręgu o promieniu to zachodzić będzie[6]

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków i otrzymuje się

(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4) jest

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie zachodzi zależność (1) i zbada inwersję punktów i względem pewnego okręgu o środku w to otrzyma się równość (4), z której wynika, że punkty i są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty i będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioski[edytuj | edytuj kod]

Nierówność Ptolemeusza[edytuj | edytuj kod]

Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie[8][6]:

Jeśli jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
(10)
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji[5] i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty i nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty i które spełniają nierówność trójkąta

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta [3]:

Gdy czworokąt jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:

i ostatecznie

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza: