Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone’a[1]. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie[edytuj]

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech będzie algebrą Boole’a.

Definicje[edytuj]

  • Powiemy, że zbiór jest filtrem na algebrze , gdy następujące warunki są spełnione:
(a) ,
(b) jeśli oraz (czyli ), to też ,
(c) jeśli , to również .
  • Filtr na algebrze jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym jest filtr . (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze jest oznaczany przez .
  • Dla definiuje się .

Obserwacje[edytuj]

  • Niech będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) jest ultrafiltrem,
(ii) dla każdego elementu , albo lub ,
(iii) dla każdych , jeśli , to lub .
  • Każdy filtr jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
  • Dla dowolnych mamy, że
, oraz .
  • Rodzina jest bazą pewnej topologii na . Przestrzeń topologiczna jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry )
  • Odwzorowanie jest izomorfizmem pomiędzy algebrą a ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

Dualność[edytuj]

W istocie, twierdzenie Stone’a może być wypowiedziane nieco ogólniejszej formie która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zero-wymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone’a o dualności[edytuj]

Dla każdej algebry Boole’a istnieje izomorfizm

przy czym

  • dla każdej algebry Boole’a
  • dla każdego homomorfizmu

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

,

że

.

Ponadto,

  • jeżeli jest różnowartościowa, to jest epimorfizmem,
  • jeżeli jest „na”, to jest monomorfizmem,
  • jeżeli jest algebrą Boole’a oraz jest homomorfizmem, to
.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]