Przejdź do zawartości

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone’a[1]. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie

[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech będzie algebrą Boole’a.

Definicje

[edytuj | edytuj kod]
  • Powiemy, że zbiór jest filtrem na algebrze gdy następujące warunki są spełnione:
(a)
(b) jeśli oraz (czyli ), to też
(c) jeśli to również
  • Filtr na algebrze jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym jest filtr (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze jest oznaczany przez
  • Dla definiuje się

Obserwacje

[edytuj | edytuj kod]
  • Niech będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) jest ultrafiltrem,
(ii) dla każdego elementu albo lub
(iii) dla każdych jeśli to lub
  • Każdy filtr jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
  • Dla dowolnych mamy, że
oraz
  • Rodzina jest bazą pewnej topologii na Przestrzeń topologiczna jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2 (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry ).
  • Odwzorowanie jest izomorfizmem pomiędzy algebrą a ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

Dualność

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Stone’a może być sformułowane w nieco ogólniejszej formie, która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone’a o dualności

[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej algebry Boole’a istnieje izomorfizm

przy czym

  • dla każdej algebry Boole’a
  • dla każdego homomorfizmu

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

że

Ponadto

  • jeżeli jest różnowartościowa, to jest epimorfizmem,
  • jeżeli jest „na”, to jest monomorfizmem,
  • jeżeli jest algebrą Boole’a oraz jest homomorfizmem, to

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]