Topologia ilorazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia ilorazowa – w topologii, dziale matematyki, najbogatsza topologia[a] określona na zbiorze ilorazowym, wyznaczonym przez relację równoważności określoną na danej przestrzeni topologicznej, względem której odwzorowanie rzutowe[b] jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali jako pierwsi Robert Lee Moore[1] oraz Paweł Aleksandrow[2].

Definicje[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, zaś oznacza pewną relację równoważności określoną na Niech oznacza odwzorowanie rzutowe zbioru w zbiór ilorazowy dane wzorem nazywane też naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.

Rodzinę zbiorów

tworzącą topologię w zbiorze nazywa się topologią ilorazową przestrzeni względem relacji z kolei zbiór z topologią ilorazową nazywa się przestrzenią ilorazową

Jeżeli oraz relacja utożsamia ze sobą punkty zbioru tzn. jest to przestrzeń ilorazową nazywa się przestrzenią otrzymaną z przez sklejenie zbioru do punktu i oznacza symbolem

Własności[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz będzie relacją równoważności w zbiorze Wówczas

  • zbiór jest domknięty w przestrzeni ilorazowej wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniętym podzbiorem
  • przekształcenie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest ciągłe;
  • jeżeli i przestrzeniami Hausdorffa, zaś takim ciągłym i odwzorowaniem „na”, że oraz dla pewnego zbioru zwartego jest to odwzorowanie dane wzorem jest homeomorfizmem.

Jeżeli jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej to przestrzeń można zanurzyć w bez założenia o zwartości można wskazać takie zbiory oraz dla których przestrzeń jest niemetryzowalna.

Przykłady[edytuj]

Przestrzeń ilorazowa określona na prosta rzeczywistej (z naturalną topologią euklidesową) i rozumiana jako grupa ilorazowa grupy liczb rzeczywistych przez podgrupę liczb całkowitych [c] jest tożsama z przestrzenią wyznaczoną przez relację równoważności zdefiniowaną dla dowolnych warunkiem Jest ona homeomorficzna z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie euklidesowej[d].

Przestrzeń ilorazowa określona na (z topologią jw.) poprzez sklejenie podzbioru liczb całkowitych jest różna od wyżej opisanej przestrzeni : przestrzeń ta jest homeomorficzna z nieskończonym bukietem okręgów sklejonych w pojedynczym punkcie i powstaje z wykorzystaniem relacji równoważności zdefiniowanej dla dowolnych warunkiem

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Tj. topologia o możliwie największej ilości zbiorów otwartych.
  2. Tzn. dla ustalonej relacji równoważności odwzorowanie przyporządkowujące danemu elementowi przestrzeni klasę abstrakcji do której należy.
  3. W innym ujęciu: grupa działa na grupie poprzez przesunięcia.
  4. Niech będzie dane wzorem Ponieważ oraz to odwzorowanie dane wzorem jest homeomorfizmem (na mocy jednej z własności). Przekształcenie można interpretować jako nawinięcie prostej na okrąg (każdy przedział „nawija się” jednoznacznie na cały okrąg).

Przypisy

  1. Moore, Robert Lee. Concerning upper semi-continous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s. 414-428
  2. Александров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s. 555-571

Bibliografia[edytuj]

  1. S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005
  2. Ryszard Engelking,: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122-123.