Topologia ilorazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Topologia ilorazowa – dla danej przestrzeni topologicznej oraz relacji równoważności na niej określonej, najmocniejsza (mająca możliwie najwięcej zbiorów otwartych) topologia na zbiorze ilorazowym, względem której odwzorowanie, przyporządkowujące danemu punktowi przestrzeni jego klasę abstrakcji, jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali po raz pierwszy Robert Lee Moore[1] oraz Paweł Aleksandrow[2].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną oraz \sim będzie relacją równoważności w zbiorze X.

  • Odwzorowanie \pi\colon X\to X/_\sim dane wzorem \pi(x)= [x]_\sim nazywamy naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.
  • Rodzina
\tau/_\sim = \{U \subseteq X/_\sim\colon \pi^{-1}(U) \in \tau\},
jest topologią w zbiorze X/_\sim, zwaną topologią ilorazową (przestrzeni X względem relacji \sim). Zbiór X/_\sim z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią ilorazową.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi oraz \sim będzie relacją równoważności w zbiorze X. Wówczas

  • zbiór F jest domknięty w przestrzeni ilorazowej X/_\sim wtedy i tylko wtedy, gdy \pi^{-1}(F) jest domkniętym podzbiorem X.
  • przekształcenie f\colon X/_\sim \to Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie f \circ \pi\colon X \to Y jest ciągłe.
  • jeżeli X i Yprzestrzeniami Hausdorffa, g\colon X \to Y takim ciągłym odwzorowaniem przestrzeni X na Y, że g(x) = g(y) \iff x \sim y oraz dla pewnego zbioru zwartego K \subseteq X, \pi(K) = X/_\sim, to odwzorowanie f\colon X/_\sim \to Y dane wzorem f(\pi(x)) = g(x) jest homeomorfizmem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy prostą rzeczywistą z naturalną topologią euklidesową oraz relację równoważności \backsim określoną warunkiem

a \backsim b \iff a - b \in \mathbb Z

dla a,b\in \mathbb{R}. Wówczas przestrzeń ilorazowa \mathbb R/_\backsim jest homeomorficzna z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie euklidesowej.

Rozważmy odwzorowanie g\colon \mathbb R \to \mathcal S^1 dane wzorem

 g(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t),

i zauważmy, że

g(a) = g(b) \iff a \sim b

oraz \pi([0, 1]) = \mathbb R/_\backsim (przekształcenie g można interpetować jako nawinięcie prostej na okrąg w taki sposób, że każdy przedział (a,b] taki, że b-a=1, nawija się na cały okrąg w sposób jednoznaczny). Na mocy ostatniej uwagi, odwzorowanie f\colon {\mathbb R}/_\backsim \to {\mathcal S}^1 dane wzorem f(\pi(x)) = g(x) jest homeomorfizmem.

Sklejenie[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią topologiczną, A \subseteq X oraz

x \sim y wtedy i tylko wtedy, gdy x = y lub x, y \in A

dla x, y \in X. Wówczas przestrzeń ilorazową X/_\sim nazywa się przestrzenią otrzymaną z X przez sklejenie zbioru A do punktu i oznacza symbolem X/A.

Jeżeli A jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni X przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n, to przestrzeń X/A można zanurzyć w \mathbb R^{n+1}. Założenie zwartości jest istotne - bez tego założenia można znaleźć takie zbiory X i A, że przestrzeń X/A jest niemetryzowalna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Moore, Robert Lee. Concerning upper semi-continous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s.414-428
  2. Александров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s.555-571

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005
  2. Ryszard Engelking,: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122-123.