Miara zewnętrzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara zewnętrznamonotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował[1] grecki matematyk Constantin Carathéodory[2]; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.

Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teorio-miarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue’a, za pomocą twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.

Definicja formalna[edytuj]

Niech oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru Funkcję nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze ), gdy spełnia następujące warunki:

  • jeżeli to dla dowolnych
  • dla dowolnych

Twierdzenie Carathéodory’ego[edytuj]

Niech będzie miarą zewnętrzną w zbiorze . Mówi się, że zbiór spełnia warunek Carathéodory’ego względem , jeśli dla każdego spełniona jest równość

,

która (z monotoniczności funkcji ) jest równoważna równości

Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór spełnia warunek Carathéodory’ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego oraz zewnętrznego spełniona jest równość:

Rodzinę zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego (względem ) nazywa się też zbiorami mierzalnymi w sensie Carathéodory’ego. Twierdzenie Carathéodory’ego mówi, że jest σ-ciałem, a zawężona do jest miarą zupełną, nazywaną miarą wyciętą z .

Przykłady[edytuj]

Miara zewnętrzna wyznaczona przez miarę

Niech będzie miarą na przestrzeni mierzalnej . Funkcja dana wzorem

jest miarą zewnętrzną nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę .

Jeżeli jest miarą wyciętą z miary zewnętrznej przy użyciu metody Caratheodory’ego oraz jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę , to na ogół miary i są różne. W przypadku, gdy jest miarą Lebesgue’a (którą można skonstruować przy użyciu wspomnianej metody z miary zewnętrznej Lebesgue’a ), to .

Miara zewnętrzna wyznaczona przez funkcję zbiorów

Niech będzie niepustym zbiorem oraz będzie dowolną funkcją. Funkcja dana wzorem

jest przeliczalną rodziną zbiorów, których suma pokrywa

jest miarą zewnętrzną, nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję zbiorów .

Miara zewnętrzna Hausdorffa i jej modyfikacje
 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Niech będzie przestrzenią metryczną, będzie dowolną funkcją oraz . Funkcja dana wzorem

jest przeliczalną rodziną zbiorów o średnicy nie większej niż których suma pokrywa

jest miarą zewnętrzną w zbiorze .

Jeżeli oraz , to . Funkcja dana wzorem

jest również miarą zewnętrzną. Jeżeli oraz funkcja dana jest wzorem

,

to miara zewnętrzna nazywana jest r-wymiarową miarą zewnętrzną Hausdorffa w X.

Miary zewnętrzne metryczne[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz będzie miarą zewnętrzną w . Miarę nazywa się miarą zewnętrzną metryczną (w przestrzeni ), gdy

dla wszystkich dla których

(w przypadku, gdy jeden ze zbiorów lub jest pusty przyjmuje się, że ).

Jeśli jest miarą zewnętrzną metryczną w , to dla każdego takiego ciągu podzbiorów zbioru o tej własności, że

dla każdej liczby naturalnej n, który spełnia warunek

,

zachodzi równość

.

Ponadto wszystkie domknięte podzbiory przestrzeni są mierzalne w sensie Carathéodory’ego względem wynika więc stąd, że i każdy borelowski podzbiór przestrzeni jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem .

Przypisy

  1. Charalambos D. Aliprantis, Kim C. Border: Infinite Dimensional Analysis. Wyd. III. Springer, 2006, s. 379. ISBN 3-540-29586-0.
  2. Constantin Carathéodory: Vorlesungen über reelle Funktionen. Wyd. I (II). Berlin: Lipsk (New York: Chelsea): 1918 (1948).

Bibliografia[edytuj]

  • David Fremlin: Measure Theory. T. 1: The Irreducible Minimum. University of Essex, 2004.
  • David Fremlin: Measure Theory. T. 4: Topological Measure Spaces. Torres Fremlin, 2003, s. 100-101.
  • Paul Halmos: Measure theory. D. van Nostrand and Co., 1950.
  • Marshall E. Munroe: Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley, 1953.
  • Andriej N. Kołmogorow, Siergiej W. Fomin: Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman (tł.). Nowy Jork: Dover Publications, 1970. ISBN 0-486-61226-0.
  • Claude A. Rogers: Hausdorff measures. Wyd. III. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, s. xxx + 195, seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 0-521-62491-6.