Miara zewnętrzna

Miara zewnętrzna – monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował grecki matematyk Constantin Carathéodory; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory’ego.

Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teoriomiarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue’a, za pomocą twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.

Definicja formalna

Niech ${\mathcal {P}}(X)$ oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru $X.$ Funkcję $\theta \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$ nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze $X$), gdy spełnia następujące warunki:

• $\theta (\varnothing )=0,$
• jeżeli $A\subseteq B,$ to $\theta (A)\leqslant \theta (B)$ dla dowolnych $A,B\subseteq X,$
• $\theta {\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }~A_{n}{\Big )}\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }~\theta (A_{n})$ dla dowolnych $A_{1},A_{2},\dots \subseteq X.$

Twierdzenie Carathéodory’ego

Niech $\theta$ będzie miarą zewnętrzną w zbiorze $X.$ Mówi się, że zbiór $E\subseteq X$ spełnia warunek Carathéodory’ego względem $\theta ,$ jeśli dla każdego $A\subseteq X$ spełniona jest równość

$\theta (A)=\theta (A\cap E)+\theta (A\cap E^{\operatorname {c} }),$

która (z monotoniczności funkcji $\theta$) jest równoważna równości

$\theta (A)\geqslant \theta (A\cap E)+\theta (A\cap E^{\operatorname {c} }).$

Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór $E$ spełnia warunek Carathéodory’ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego $W\subseteq E$ oraz zewnętrznego $Z\subseteq E^{\operatorname {c} }$ spełniona jest równość:

$\theta (W\cup Z)=\theta (W)+\theta (Z).$

Rodzinę zbiorów ${\mathcal {C}}(\theta )$ spełniających warunek Carathéodory’ego (względem $\theta$) nazywa się też zbiorami mierzalnymi w sensie Carathéodory’ego. Twierdzenie Carathéodory’ego mówi, że ${\mathcal {C}}(\theta )$ jest σ-ciałem, a $\theta$ zawężona do ${\mathcal {C}}(\theta )$ jest miarą zupełną, nazywaną miarą wyciętą z $\theta .$

Przykłady

Miara zewnętrzna wyznaczona przez miarę

Niech $\mu$ będzie miarą na przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathcal {F}}).$ Funkcja $\mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$ dana wzorem

$\mu ^{*}(A)=\inf\{\mu (E)\colon \,A\subseteq E,\,E\in {\mathcal {F}}\}$

jest miarą zewnętrzną nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę $\mu .$

Jeżeli $\mu$ jest miarą wyciętą z miary zewnętrznej $\theta$ przy użyciu metody Caratheodory’ego oraz $\mu ^{*}$ jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę $\mu ,$ to na ogół miary $\theta$ i $\mu ^{*}$ są różne. W przypadku, gdy $\mu$ jest miarą Lebesgue’a (którą można skonstruować przy użyciu wspomnianej metody z miary zewnętrznej Lebesgue’a $\theta$), to $\theta =\mu ^{*}.$

Miara zewnętrzna wyznaczona przez funkcję zbiorów

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem oraz $\gamma \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$ będzie dowolną funkcją. Funkcja $\theta \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$ dana wzorem

$\theta (A)=\inf {\Bigg \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\gamma (B)\colon {\mathcal {C}}$ jest przeliczalną rodziną zbiorów, których suma pokrywa $A{\Bigg \}}.$

jest miarą zewnętrzną, nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję zbiorów $\gamma .$

Miara zewnętrzna Hausdorffa i jej modyfikacje

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\gamma \colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$ będzie dowolną funkcją oraz $\delta >0.$ Funkcja $\theta _{\gamma ,\delta }$ dana wzorem

$\theta _{\gamma ,\delta }(A)=\inf {\Bigg \{}\sum _{B\in z{\mathcal {C}}_{\delta }}\gamma (B)\colon {\mathcal {C}}_{\delta }$ jest przeliczalną rodziną zbiorów o średnicy nie większej niż $\delta ,$ których suma pokrywa $A{\Bigg \}}$

jest miarą zewnętrzną w zbiorze $X.$

Jeżeli $A\subseteq X$ oraz $\delta <\delta ^{'},$ to $\theta _{\gamma ,\delta }(A)\geqslant \theta _{\gamma ,\delta ^{'}}(A).$ Funkcja dana wzorem

$\theta _{\gamma }(A)=\sup\{\theta _{\gamma ,\delta }(A)\colon \delta >0\}$

jest również miarą zewnętrzną. Jeżeli $r>0$ oraz funkcja $\gamma$ dana jest wzorem

$\gamma (A)=(\operatorname {diam} A)^{r},$

to miara zewnętrzna $\theta _{\gamma }$ nazywana jest r-wymiarową miarą zewnętrzną Hausdorffa w X.

Miary zewnętrzne metryczne

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\theta$ będzie miarą zewnętrzną w $X.$ Miarę $\theta$ nazywa się miarą zewnętrzną metryczną (w przestrzeni $X$), gdy

$\theta (A\cup B)=\theta (A)+\theta (B)$

dla wszystkich $A,B\subseteq X,$ dla których

$d(A,B)=\inf\{d(x,y)\colon \,x\in A,\,y\in B\}>0$

(w przypadku, gdy jeden ze zbiorów $A$ lub $B$ jest pusty przyjmuje się, że $d(A,B)=\infty$).

Jeśli $\theta$ jest miarą zewnętrzną metryczną w $X,$ to dla każdego takiego ciągu podzbiorów $(A_{n})$ zbioru $X$ o tej własności, że

$d(A_{n},A\setminus A_{n+1})>0$

dla każdej liczby naturalnej $n,$ który spełnia warunek

$A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n},$

zachodzi równość

$\theta (A)=\sup\{\theta (A_{n})\colon \;n=1,2,\dots \}.$

Ponadto wszystkie domknięte podzbiory przestrzeni $X$ są mierzalne w sensie Carathéodory’ego względem $\theta ,$ wynika więc stąd, że i każdy borelowski podzbiór przestrzeni $X$ jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego względem $\theta .$

Bibliografia

• David Fremlin: Measure Theory. T. 1: The Irreducible Minimum. University of Essex, 2004.
• David Fremlin: Measure Theory. T. 4: Topological Measure Spaces. Torres Fremlin, 2003, s. 100–101.
• Paul Halmos: Measure theory. D. van Nostrand and Co., 1950.
• Marshall E. Munroe: Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley, 1953.
• Andriej N. Kołmogorow, Siergiej W. Fomin: Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman (tł.). Nowy Jork: Dover Publications, 1970. ISBN 0-486-61226-0.
• Claude A. Rogers: Hausdorff measures. Wyd. III. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, s. xxx + 195, seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 0-521-62491-6.