Algebra AF

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Algebra AF (od ang. approximately finite-dimensional) - C*-algebra A zawierająca wstępujący ciąg skończenie wymiarowych pod-C*-algebr (Bn) (tj. BnBn + 1 dla każdej liczby naturalnej n), których suma jest gęsta w A, tzn.

\textstyle A = \overline{\bigcup_{n=1}^\infty B_n }.

Intuicyjnie, AF algebry to C*-algebry, które lokalnie wyglądają jak skończenie wymiarowe C*-algebry. Algebry AF są ważną klasą C*-algebr ze względu na fakt, że są klasyfikowalne przez K-teorię[1].

Charakteryzacja algebr AF[edytuj | edytuj kod]

Dla ośrodkowej C*-algebry A następujące warunki są równoważne:

  1. A jest algebrą AF,
  2. A jest granicą prostą ciągu skończenie wymiarowych C*-algebr,
  3. dla każdego zbioru skończonego {a1, a2, ..., an} ⊆ A oraz każdego ε > 0 istnieje taka skończenie wymiarowa C*-algebra BA oraz elementy {b1, b2, ..., bn} ⊆ B, że
\|a_j - b_j \| \leqslant \varepsilon\;\;(j\leqslant n).

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Wprost z definicji, każda algebra AF jest ośrodkowa. Jako granice proste algebr skończenie wymiarowych, które są nuklearne, każda algebra AF jest również nuklearna. Podobnie, granice proste, ilorazy i iloczyny tensorowe algebr AF są również AF. Pod-C*-algebry algebr AF na ogół nie są AF, jednak dziedziczne podalgebry algebr AF są AF.

Brown[2] udowodnił, że jeżeli

0\to I \to A \to B \to 0

jest krótkim ciągiem dokładnym C*-algebr oraz I i B są AF, to również A jest AF.

Jeżeli A i B są takimi dwiema C*-algebrami, że

A\otimes \mathcal{K} \cong B \otimes \mathcal{K},

gdzie K oznacza C*-algebrę operatorów zwartych na 2 oraz A jest AF, to B jest również AF. Rzeczywiście, AK jest AF, a więc również BK. Algebra B jest jednak izomorficzna z dziedziczną podalgebrą BK, więc jest AF.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Algebra operatorów zwartych na ośrodkowej przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Najprostszym przykładem algebry AF jest algebra K operatoró zwartych na 2. Jest ona wyznaczona przez ciąg inkluzji

M_1(\mathbb{C}) \subset M_2(\mathbb{C}) \subset M_3(\mathbb{C}) \subset M_4(\mathbb{C}) \ldots

Diagramem Bratellego algebry operatorów zwartych jest więc

1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow \ldots

Także algebrę K1 operatorów zwartych na 2 z dołączoną jedynką można uzyskać w podobny sposób rozważając ciąg

B_n = \mathbb{C} \oplus M_n(\mathbb{C})\;\;\;(n\geqslant 1)

oraz *-homomorfizmy φn: BnBn+1 określone wzorami

 x\oplus \begin{pmatrix}  x_{11} & \ldots & x_{1j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{j1} & \ldots & x_{jj} \\   \end{pmatrix}\; \;\stackrel{\varphi_n}{\longmapsto} \; \; x\oplus 
\begin{pmatrix}  
x_{11} & \ldots & x_{1j} & 0 \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \vdots\\ 
x_{j1} & \ldots & x_{jj} & 0\\   
0 & \ldots & 0 & x \end{pmatrix}.

Odpowiadającym diagramem Bratellego w tej sytuacji jest

 
\begin{array}{cccccccccc} 
1 & \rightarrow & 1 & \rightarrow & 1 & \rightarrow & 1 & \rightarrow & 1 &\ldots \\
   & \searrow &  & \searrow &  &  \searrow &  &  \searrow &  & \\
1 & \rightarrow & 2 & \rightarrow & 3 & \rightarrow & 4 & \rightarrow & 5 &\ldots \\
\end{array}

Algebra stowarzyszona z ciągiem Fibonacciego[edytuj | edytuj kod]

Niech f0, f1, f3, ... będzie ciągiem Fibonacciego, tj. f0 = f1 = 1 oraz fn = fn-1 + fn-2 dla n ≥ 2. Niech ponadto

A_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})\;\;\;(n\geqslant 1)

oraz dane będą *-homomorfizmy φn: AnAn+1 określone wzorami

\varphi_n\big((x,y)\big) = \big(\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}, x \big).

Granica prosta ciagu (An, φn) jest algebrą AF, której grupa K0 jest izomorficzna z

\mathbb{Z}+\gamma \mathbb{Z},

gdzie γ oznacza złoty podział.

Inną ważną klasą algebr AF są tzw. algebry UHF.

Przypisy

  1. G. A. Elliott, On the classification of inductive limits of sequences of semi-simple finite dimensional algebras, J. Algebra 38 (1976), 29--44.
  2. L.G. Brown, Extensions of AF algebras: The projection lifting problem, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 38, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.