Filtr grzebieniowy

Filtr grzebieniowy – jeden z podstawowych rodzajów filtrów stosowanych w przetwarzaniu sygnału. Jego działanie polega na dodawaniu sygnału do jego opóźnionej wersji, co powoduje wzmacnianie, bądź wygaszanie poszczególnych składowych częstotliwościowych poprzez zjawisko interferencji. W charakterystyce częstotliwościowej filtra grzebieniowego występują regularnie powtarzające się minima (ang. notch) nadające jej wygląd „grzebienia”.

Zastosowania

Spośród licznych zastosowań filtrów grzebieniowych wymienić można:

• Kaskadowe filtry całkująco-grzebieniowe (ang. cascaded integrator-comb filters, CIC), szeroko stosowane do zapobiegania aliasingowi w operacjach interpolacji i decymacji, zmieniających częstotliwość próbkowania w systemach czasu dyskretnego.
• Filtry grzebieniowe 2D i 3D implementowane sprzętowo (rzadziej programowo) w dekoderach systemu PAL i NTSC. Ich zadaniem jest redukcja artefaktów typu „dot crawl”.
• Efekty dźwiękowe, takie jak np. echo czy flanger oraz falowodowa synteza dźwięku. Przykładowo, dla opóźnienia rzędu kilku milisekund, filtr grzebieniowy może być użyty do modelowania efektu akustycznej fali stojącej w cylindrycznej komorze rezonansowej bądź w drgającej strunie.
• W astronomii, tzw. „astro-comb” może potencjalnie zwiększyć precyzję istniejących spektrografów niemal stukrotnie.

W akustyce, filtracja grzebieniowa występuje niekiedy samorzutnie (i zwykle jest niepożądana). Przykładowo, jeśli dwa głośniki odtwarzają ten sam sygnał w różnej odległości od słuchacza, wystąpi efekt filtracji grzebieniowej. Ponadto, w każdej zamkniętej przestrzeni, słuchacz odbiera mieszaninę dźwięków bezpośrednich i odbitych od ścian, podłogi, sufitu, mebli i innych przedmiotów. Ponieważ dźwięk odbity przebywa dłuższą drogę do słuchacza, stanowi tym samym opóźnioną wersję dźwięku bezpośredniego, co również powoduje wystąpienie efektu filtracji grzebieniowej.

Szczegóły techniczne

Filtry grzebieniowe występują w dwóch podstawowych postaciach: bez sprzężenia zwrotnego i ze sprzężeniem zwrotnym i mogą być implementowane jako filtry cyfrowe bądź analogowe. Zostanie tu szczegółowo omówiony przypadek cyfrowy (przypadek analogowy opisuje się podobnie).

Filtr grzebieniowy bez sprzężenia zwrotnego

Schemat blokowy cyfrowego filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego (blok $z^{-k}$ oznacza opóźnienie sygnału o $k$ próbek)

Ogólna struktura filtru tego typu przedstawiona jest na powyższym schemacie, a jego odpowiedź określa równanie różnicowe:

$y(n)=x(n)+\alpha x(n-k),$

gdzie $\textstyle k$ jest opóźnieniem (mierzonym liczbą próbek), zaś $\textstyle \alpha$ jest współczynnikiem skalującym określającym stopień wzmocnienia/wygaszenia sygnału opóźnionego.

Stosując transformację $\textstyle z$ do obu stron tego równania otrzymuje się:

$Y(z)=X(z)\left(1+\alpha z^{-k}\right),$

skąd oblicza się transmitancję:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-k}={\frac {z^{k}+\alpha }{z^{k}}}.$

Charakterystyka częstotliwościowa

Charakterystykę częstotliwościową układu dyskretnego otrzymuje się rozważając jego funkcję transmitancji dla argumentów leżących na okręgu jednostkowym w dziedzinie $\textstyle z,$ tj. dla $\textstyle z=e^{j\omega }.$ A zatem, dla tego filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego otrzymuje się:

$H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega k}.$

Stosując wzór Eulera otrzymuje się równoważnie:

$H(e^{j\omega })=1+\alpha \cos {\omega k}-j\alpha \sin {\omega k}.$

Obliczając moduł powyższego wyrażenia otrzymuje się charakterystykę amplitudową filtru:

$|H(e^{j\omega })|={\sqrt {\left(\Re \{{H(e^{j\omega })}\}\right)^{2}+\left(\Im \{{H(e^{j\omega })}\}\right)^{2}}}={\sqrt {\left(1+\alpha \cos {\omega k}\right)^{2}+\left(\alpha \sin {\omega k}\right)^{2}}},$

skąd ostatecznie:

$|H(e^{j\omega })|={\sqrt {1+\alpha ^{2}+2\alpha \cos {\omega k}}}.$

Zauważając, że składnik $\textstyle (1+\alpha ^{2})$ jest stały, podczas gdy $\textstyle 2\alpha \cos {\omega k}$ zmienia się okresowo wraz ze zmianą $\textstyle \omega .$ A zatem odpowiedź amplitudowa filtru grzebieniowego jest okresowa, z okresem $\textstyle {\frac {2\pi }{k}}.$

Przykłady

Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystykę amplitudową filtru grzebieniowego dla $\textstyle k=2$ i kilku wybranych wartości $\textstyle \alpha >0.$ Jednostką osi odciętych jest znormalizowana częstotliwość (a zatem wartości $\textstyle 2\pi$ odpowiada częstotliwość próbkowania sygnału dyskretnego, a wartości $\textstyle \pi$ – częstotliwość Nyquista).

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego dla $k=2$ i dodatnich wartości parametru $\alpha$

Zauważając, że dla powyższego przykładu ($\textstyle k=2,$ $\textstyle \alpha >0$) pierwsze minimum charakterystyki filtru występuje w punkcie $\textstyle {\frac {\pi }{2}},$ co odpowiada sygnałowi o okresie czterech próbek (tzn. o częstotliwości $\textstyle 4\times$ mniejszej niż częstotliwość próbkowania). Istotnie, jeśli uwzględni się fakt, że opóźnienie o $\textstyle k=2$ próbki oznacza dla tego sygnału po prostu odwrócenie fazy, to łatwo zauważyć, iż po zsumowaniu z sygnałem oryginalnym otrzyma się sygnał zerowy (dla $\textstyle \alpha =1$). Dla $\textstyle 0<\alpha <1$ uzyskane wygaszenie sygnału będzie częściowe.

Dla sygnału o maksymalnej częstotliwości (połowa częstotliwości próbkowania, i.e. dwie próbki na okres) jego opóźnienie o $\textstyle k=2$ próbki daje sygnał oryginalny, a zatem dla $\textstyle \alpha =1$ na wyjściu sumatora otrzyma się sygnał o dwukrotnie większej amplitudzie. Odpowiada to widocznemu maksimum charakterystyki dla $\textstyle \omega =\pi .$

Na kolejnym rysunku zaprezentowano przypadek gdy $\textstyle \alpha <0.$

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego dla $k=2$ i ujemnych wartości parametru $\alpha$

Zauważając, że minima charakterystyki odpowiadają maksimom z rysunku (dla $\textstyle \alpha >0$) i vice versa. Dla $\textstyle \alpha >0$ minima występują dla częstotliwości:

$f={\frac {f_{s}}{2k}},{\frac {3f_{s}}{2k}},{\frac {5f_{s}}{2k}},\dots$

gdzie $\textstyle f_{s}$ to częstotliwość próbkowania sygnału.

Zauważając też, że wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej są równoodległe od jedności, a w przypadku gdy $\textstyle \alpha =\pm 1$ minima osiągają wartość zero.

Odpowiedź impulsowa

Filtr grzebieniowy bez sprzężenia zwrotnego jest jednym z najprostszych filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej. Jego odpowiedź impulsowa składa się po prostu z wyjściowego impulsu powtórzonego po $\textstyle k$ próbkach.

Bieguny i zera transmitancji

Rozważając licznik i mianownik funkcji transmitancji filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego:

$H(z)={\frac {z^{k}+\alpha }{z^{k}}}.$

należy zauważyć, że mianownik ma miejsce zerowe (biegun transmitancji) dla $\textstyle z=0,$ zaś miejsca zerowe licznika (zera transmitancji) występują dla takich $\textstyle z,$ dla których $\textstyle z^{k}=-\alpha .$ Ich liczba wynosi dokładnie $\textstyle k,$ jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z minimami charakterystyki częstotliwościowej. Zauważając, że dla $\textstyle \alpha =-1$ zera transmitancji odpowiadają zespolonym pierwiastkom $\textstyle k$-tego stopnia z jedności.

• 
  Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego, dla $k=8$ i $\alpha =0.5$
• 
  Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego, dla $k=8$ i $\alpha =-0.5$

Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym

Schemat blokowy cyfrowego filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym (blok $z^{-k}$ oznacza opóźnienie sygnału o $k$ próbek)

Ten wariant filtru grzebieniowego charakteryzuje następujące równanie różnicowe:

$y(n)=x(n)+\alpha y(n-k),$

Przekształcając to równanie tak, aby mieć wszystkie składniki zależne od sygnału wyjściowego $\textstyle y$ po lewej stronie i stosując transformację $\textstyle z$ do obu stron otrzymuje się:

$\left(1-\alpha z^{-k}\right)Y(z)=X(z),$

skąd oblicza się transmitancję:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-k}}}={\frac {z^{k}}{z^{k}-\alpha }}.$

Charakterystyka częstotliwościowa

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym dla $k=2$ i dodatnich wartości parametru $\alpha$

Podstawiając $\textstyle z=e^{j\omega }$ we wzorze na transmitancję otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru ze sprzężeniem zwrotnym:

$H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega k}}}.$

Analogicznie jak dla wersji bez sprzężenia zwrotnego, pamiętając że moduł odwrotności liczby zespolonej, to odwrotność modułu, otrzymuje się charakterystykę amplitudową:

$|H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos {\omega k}}}}.$

Jest ona okresowa, podobnie jak w przypadku bez sprzężenia zwrotnego i podobnie jak tam maksima dla dodatnich wartości $\textstyle \alpha$ odpowiadają minimom dla ujemnych $\textstyle \alpha$ i vice versa. Dla $\textstyle \alpha >0$ maksima występują dla częstotliwości:

$f=0,{\frac {f_{s}}{k}},{\frac {2f_{s}}{k}},{\frac {3f_{s}}{k}},\dots$

gdzie $\textstyle f_{s}$ to częstotliwość próbkowania sygnału.

Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe filtru grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym dla $k=2$ i ujemnych wartości parametru $\alpha$

W przeciwieństwie do filtru bez sprzężenia zwrotnego, wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej nie są tu równoodległe od jedności (maksima przyjmują wartość $\textstyle {\frac {1}{1-\alpha }}$). Zauważając też, że sprzężenie zwrotne powoduje, że filtr jest stabilny tylko dla $\textstyle |\alpha |<1,$ a wraz ze wzrostem wartości $\textstyle |\alpha |,$ od 0 do 1, amplituda maksimów gwałtownie rośnie.

Odpowiedź impulsowa

Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym to prosty filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Jeżeli jest stabilny, jego odpowiedź impulsowa składa się z ciągu powtarzających się impulsów o amplitudzie stopniowo malejącej wraz z czasem.

Bieguny i zera transmitancji

Z uwagi na postać wielomianu w mianowniku funkcji transmitancji:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-k}}}={\frac {z^{k}}{z^{k}-\alpha }}.$

należy zauważyć, że jego miejsca zerowe (bieguny transmitancji) występują dla takich $\textstyle z,$ dla których $\textstyle z^{k}=\alpha .$ Ich liczba wynosi dokładnie $\textstyle k,$ jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z maksimami charakterystyki częstotliwościowej. Dla $\textstyle |\alpha |<1$ bieguny transmitancji znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, a zatem filtr jest stabilny. Licznik transmitancji przyjmuje wartość 0, gdy $\textstyle z^{k}=0,$ co daje $\textstyle k$ zer funkcji transmitancji w punkcie $\textstyle z=0.$

• 
  Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym, dla $k=8$ i $\alpha =0.5$
• 
  Bieguny i zera transmitancji filtra grzebieniowego ze sprzężeniem zwrotnym, dla $k=8$ i $\alpha =-0.5$

Analogowe filtry grzebieniowe

Filtr grzebieniowy może być również zdefiniowany jako układ z czasem ciągłym. Filtr bez sprzężenia zwrotnego opisuje się następująco:

$y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau ),$

gdzie opóźnienie $\textstyle \tau$ wyrażone jest w sekundach (a nie w liczbie próbek, jak w przypadku dyskretnym). Transmitancja tego filtru:

$H(s)=1+\alpha e^{-s\tau },$

charakteryzuje się występowaniem nieskończonej liczby zer wzdłuż osi $\textstyle j\omega .$ Filtr ze sprzężeniem zwrotnym:

$y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau ),$

posiada funkcję transmitancji w postaci:

$H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}},$

charakteryzującą się występowaniem nieskończonej liczby biegunów wzdłuż osi $\textstyle j\omega .$

Zobacz też

• filtr cyfrowy
• przetwarzanie sygnałów