Pierwiastek z jedynki

Ciało liczb zespolonych

Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość:

$z^n = 1$.

Pierwiastki z jedynki nazywa się też liczbami de Moivre'a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki n-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie $1$. Realizują one podział tego okręgu na n równych części.

Przykłady

• Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy $1$.
• Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są $+1$ oraz $-1$.
• Pierwiastki sześcienne z jedynki to

$1, \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2}$,

• Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru

$\{1, +i, -1, -i\}$.

Własności

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie $n\;$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z jedynki:

$\varepsilon_n^{(k)} = \cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) = e^\frac{2\pi i k}{n}$, gdzie $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Dla $n > 1$ wszystkie pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0$:

$\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0$.

Przypadek $n=2$ powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Pierwiastki z jedynki w dowolnym ciele

Jeśli K jest ciałem, a n jest dowolną liczbą naturalną większą od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia w ciele K nazywa się element $a \in K$ spełniający równość:

$a^n = 1\;$.

Grupa

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia $n$ tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu $n$, zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt $\mathbb Z_n$. Generatorami tej grupy są te pierwiastki $\varepsilon_n^{(k)}$ dla których $\mbox{NWD}(n, k) = 1\;$, czyli liczby $n\;$ i $k\;$ są względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia n z jedynki jest równa $\varphi(n)\;$, gdzie $\varphi\;$ jest funkcją Eulera.

Grupy $\mathbb C_n$ wyczerpują skończone podgrupy grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

$\mathbb C_{p^\infty} \overset\underset\mathrm{def}\ = \bigcup_{n=1}^\infty~\mathbb C_{p^n}$,

gdzie $p$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

Zobacz też

• liczby zespolone
• addytywna grupa klas reszt
• ciało algebraicznie domknięte

Bibliografia

• Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
• van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153-158
• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86-88.