Pierwiastek z jedynki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ciało liczb zespolonych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość[1]:

z^n = 1.

Pierwiastki z jedynki nazywa się też liczbami de Moivre'a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki n-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o n bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie 1. Realizują one podział tego okręgu na n równych części.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy 1.
  • Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są +1 oraz -1.
  • Pierwiastki sześcienne z jedynki to
 1, \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2},
  • Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru
\{1, +i, -1, -i\}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie n\; różnych pierwiastków stopnia n z jedynki:

\varepsilon_n^{(k)} = \cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) = e^\frac{2\pi i k}{n}, gdzie k = 0, 1, \dots, n-1.

Dla n > 1 wszystkie pierwiastki z jedynki n-tego stopnia sumują się do 0:

\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0.

Przypadek n=2 powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Pierwiastki z jedynki w dowolnym ciele[edytuj | edytuj kod]

Jeśli K jest ciałem, a n jest dowolną liczbą naturalną większą od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia w ciele K nazywa się element a \in K spełniający równość[2]:

a^n = 1\;.

Grupa[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia n tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu n, zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt \mathbb Z_n. Generatorami tej grupy są te pierwiastki \varepsilon_n^{(k)} dla których \mbox{NWD}(n, k) = 1\;, czyli liczby n\; i k\;względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia n z jedynki jest równa \varphi(n)\;, gdzie \varphi\; jest funkcją Eulera.

Grupy \mathbb C_n wyczerpują skończone podgrupy grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

\mathbb C_{p^\infty} \overset\underset\mathrm{def}\ = \bigcup_{n=1}^\infty~\mathbb C_{p^n},

gdzie p jest ustaloną liczbą pierwszą.

Przypisy

  1. van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153
  2. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153-158
  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86-88.