Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa – funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B za pomocą wartości całki Lebesgue’a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w konkteście rozkładów prawdopodobieństwa na prostej, jak i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości rozkładu zmiennej losowej.

Definicja

Niech $P$ będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni $\mathbb{R}^N$ (w szczególności rozkładem na prostej dla $N=1$). Funkcję borelowską $f\colon \mathbb{R}^N\to \mathbb{R}$ nazywamy gęstością rozkładu $P$ gdy dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}^N$

$P(B)=\int\limits_B f(x) dx$.

Jeśli $f$ jest gęstością rozkładu $P$, to w szczególności, na mocy powyższej definicji:

$\int\limits_{\mathbb{R}^N} f(x) dx=1$.

W drugą stronę, każda nieujemna funkcja borelowska $f$, spełniająca powyższy warunek, jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.

Wybrane własności w przypadku jednowymiarowym

Dystrybuanta

Załóżmy, że $f$ jest gęstością rozkładu $P$. Wówczas

$\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt=P((-\infty, x])=F_P(x)$,

gdzie $F_P$ jest dystrybuantą rozkładu $P$ – gęstość (o ile istnieje) pozwala za swoją pomocą wyrazić w prosty sposób dystrybuantę rozkładu, co często bywa przydatne, gdy dystrybuanta nie daje się wyrazić w sposób elementarny (np. rozkład normalny). Z powyższego związku między gęstością a dystrybuantą można zauważyć, że warunkiem koniecznym istnienia gęstości jest aby dystrybuanta rozkładu była prawie wszędzie ciągła – nie jest to jednak warunek wystarczający – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. dystrybuanta Cantora). Warunkami wystarczającymi na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest bezwzględna ciągłość bądź ograniczone wahanie jego dystrybuanty.

Jeśli $F$ jest dystrybuantą to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna oraz jeśli $F^\prime$ (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.

Wartość oczekiwana

Jeżeli $X$ jest jednowymiarową zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością $f(x)$, to jej wartość oczekiwana wyraża się wzorem:

$E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx$.

Suma zmiennych losowych

Jeżeli $X$ i $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły, jeśli ponadto obydwie mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest splotem ich gęstości.

Wybrane własności w przypadku dwuwymiarowym

Pole powierzchni pod funkcją

Pole powierzchni bryły ograniczonej od góry funkcją gęstości, a od dołu płaszczyzną $z=0$ jest zawsze równe $1$, dlatego dla funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dwóch zmiennych prawdziwe jest równanie:

$\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x, y)\ dy\ dx = 1$

Pamiętając, że całka z $0$ wynosi $0$:

$\int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty 0\ dy\ dx = 0$

można zawęzić oznaczenia obu całek do niezerowych obszarów funkcji gęstości:

$\int\limits_{startX}^{endX} \int\limits_{startY}^{endY} f(x, y)\ dy\ dx = 1$

Powyższą własność wykorzystuje się przy obliczaniu brakującego składnika funkcji gęstości.

Prawdopodobieństwo wystąpienia wartości z przedziału

Suma prawdopodobieństw wszystkich wartości z przedziału jest równa wartości całki z funkcji gęstości oznaczonej granicami przedziałów:

$P(a < X < b, c < Y < d) = \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{c}^{d} f(x, y)\ dy\ dx$

Niezależność zmiennych losowych

Zmienne losowe $X, Y$ posiadające swoje funkcje gęstości

$f_1(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ dy$

$f_2(y) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\ dx$

są niezależne jeżeli funkcja $f(x,y)$ jest gęstością wektora losowego $(X, Y)$, czyli prawdziwe jest równanie:

$f(x, y)=f_1(x)\cdot f_2(y)$

Mechanika kwantowa

W kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej wszelkie obserwowalne własności cząstek (na przykład ich położenia, pędy, energie) opisywane są funkcjami falowymi. Przeprowadzenie pomiarów tej samej wielkości mierzalnej (tzw. obserwabli) w identycznych układach o identycznych stanach kwantowych może prowadzić do różnych wyników. W istocie, wynik pomiaru jest zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy mierzoną wielkością jest położenie cząstki w stanie opisywanym funkcją falową $\psi (r)\,$ gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie $r\,$ dana jest równaniem:

$\rho (r) \;=\; \psi (r)^{*}\cdot \psi (r) \;=\; \left| \psi (r) \right|^{2}$

gdzie ^* oznacza sprzężenie zespolone.