Pęd (fizyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pęd w mechanice – wektorowa wielkość fizyczna opisująca mechanikę, a więc ruch i oddziaływania obiektu fizycznego. Pęd mogą mieć wszystkie formy materii, np. ciała o niezerowej masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

Pęd w mechanice klasycznej[edytuj | edytuj kod]

Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Pęd punktu materialnego[edytuj | edytuj kod]

Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości.

\vec p=m \vec v

Ruch ciała, a tym samym i jego prędkość określana jest względem wybranego układu odniesienia, dlatego też pęd jest określany względem tego układu odniesienia.

W układzie SI jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą innych jednostek, np. kilogram·metr/sekunda (kg·m/s) lub niuton·sekunda (N·s). W języku polskim tę drugą jednostkę, N·s, nazywa się niutonosekundą[1].

Zasada zachowania pędu[edytuj | edytuj kod]

Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest popędem siły (I)

\vec {\Delta p}=\vec F \Delta t
\vec I=\vec F \Delta t

Jeżeli w układzie inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się:

\vec F = 0

to całkowity pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się:

\Delta \vec p = 0
\vec p=\mbox{const}

Powyższe zdanie stanowi treść zasady zachowania pędu. Zasada zachowania pędu jest konsekwencją symetrii translacji w przestrzeni (twierdzenie Noether)

\vec{x} \rightarrow \vec{x}'=\vec{x}+\vec{a}.

Jeżeli energia potencjalna jest niezmiennicza ze względu na translację,

U(\vec{x})=U( \vec{x}')=U(\vec{x}+\vec{a})=U(\vec{x})+a^i \frac{\partial U}{\partial {x^i}}+...

to

F^i = -\frac{\partial U}{\partial {x^i}}=0

czyli na ciało nie działa żadna siła i w konsekwencji pęd układu jest zachowany.

Przykłady zasady zachowania pędu[edytuj | edytuj kod]

Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora uzyskujemy pęd skierowany w stronę lądu. Równocześnie łódka - zgodnie z zasadą zachowania pędu - oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany. Wypadkowy pęd układu łódka-człowiek pozostaje nadal równy zeru.

Pocisk porusza się w powietrzu, w pewnej chwili pod wpływem wybuchu wewnątrz niego (sił wewnętrznych) ulega rozerwaniu. Ponieważ siły wewnętrzne nie zmieniają wypadkowego pędu układu, więc odłamki rozlatują się na wszystkie strony w ten sposób, że suma wektorowa pędów w chwili rozerwania jest równa pędowi pocisku tworzącego jeszcze całość. Pomijając zmiany oporu powietrza spowodowane zmianą kształtu i wielkości ciała, środek masy odłamków porusza się po takim samym torze, jak poruszał się pocisk.

Na zasadzie zachowania pędu opiera się działanie śruby okrętowej i śmigła samolotu. Śruba odrzuca wodę do tyłu, statek uzyskuje pęd skierowany ku przodowi. Podobnie śmigło odrzuca do tyłu masy powietrza, a samolot przesuwa się naprzód.

Znane są zjawiska odrzutu podczas użycia broni palnej: dubeltówka czy karabin „uderzają” strzelca, lufa cofa się przy wystrzale. Zjawisko odrzutu jest wykorzystywane w samolotach odrzutowych i rakietach. Zasada ich ruchu polega na tym, że w komorze wewnętrznej odbywa się spalanie mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc i z dużym pędem, uchodzą przez otwór w tylnej części samolotu lub rakiety, które równocześnie uzyskują dodatkowy pęd równy co do wartości pędowi wyrzucanych gazów, lecz skierowany ku przodowi.

Pęd układu punktów materialnych[edytuj | edytuj kod]

Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów, wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić[2], że pęd układu jest równy całkowitej jego masie pomnożonej przez prędkość środka masy układu.

Pęd układu punktów zmienia się tylko wtedy, gdy działa na nie siła zewnętrzna. Jeżeli układ rozpada się w wyniku działania sił wewnętrznych na części, suma pędów części jest równa pędowi układu przed rozpadem, podobnie przy łączeniu się części w układ. Zderzenie ciał możemy traktować jako złączenie i rozłączenie układu ciał.

Zasada ta umożliwia wyznaczenie masy lub prędkości i jest stosowana do np.:

  • wyznaczania prędkości pocisków, przez wyznaczenie wychylenia klocka do którego wbija się pocisk,
  • wyznaczania mas cząstek elementarnych na podstawie śladów (kątów) pod jakimi rozbiegają się produkty rozpadu,
  • wyznaczania cząstkowych śladów rozpadu elementu.

Zmiana pędu układu punktów materialnych jest równa popędowi sumy sił zewnętrznych. Jednak w ogólnym przypadku, gdy siły zewnętrzne zależą od położeń i prędkości punktów układu, siły wewnętrzne mają wpływ na zmianę całkowitego pędu i przyspieszenie środka masy[3].

Pędy uogólnione – opis hamiltonowski[edytuj | edytuj kod]

Ukoronowaniem klasycznej koncepcji pędu jest opis hamiltonowski mechaniki układu. Model układu zadaje się poprzez krok pośredni polegający na określeniu jego lagranżjanu. Jest to funkcja równa:

L=T-U \,

gdzie T jest energią kinetyczną \frac{mv^2} {2} zaś U(q) jest energią potencjalną. Ogólniej lagranżjan konstruuje się posługując się informacjami o symetriach układu, stąd jego podstawowe w stosunku do hamiltonianu znaczenie. Następnie prowadzimy transformację Legendrea do hamiltonianu, polegającą na zmianie postaci funkcyjnej i zmiennych niezależnych. Lagranżjan jest funkcją współrzędnych q i ich pochodnych po czasie - prędkości - \dot{q}. Taki zestaw współrzędnych nazywamy współrzędnymi konfiguracyjnymi, gdyż opisują zachowanie się układu na rozmaitości dostępnych dla niego położeń - konfiguracji. Transformacja Legendre'a to wprowadzenie innych zmiennych niezależnych poprzez rozwikłanie równania:

H(p, q) = p\cdot \dot{q} -L(q)

gdzie: p= \frac{\partial L } {\partial \dot{q}} jest pędem uogólnionym. W wyniku prostych obliczeń można pokazać, gdy spełnione są pewne warunki, że H=T+U czyli hamiltonian jest funkcją równą całkowitej energii układu. Tak określone współrzędne noszą nazwę zmiennych kanonicznych, pędów i współrzędnych uogólnionych lub współrzędnych w przestrzeni fazowej układu. Operacja ta odpowiada przejściu od przestrzeni konfiguracyjnej, czyli rozmaitości położeń układu, do wektorowej przestrzeni do niej stycznej. Warto wiedzieć, że nie zawsze przeprowadzenie takiej transformacji jest możliwe, oraz, że w wyniku nie zawsze dostaniemy p=m\cdot v choć dla układów bez więzów tak będzie.

Równania ruchu wyprowadzane w formalizmie Lagrange'a noszą nazwę równań Eulera-Lagrange'a, zaś w formalizmie Hamiltona - równań Hamiltona. Obydwa sposoby opisu są równoważne o ile możemy wykonać transformacje Legendre`a. Rozwiązania równań Hamiltona są łatwiejsze, gdyż mamy do czynienia z niezależnymi zmiennymi (p, q), inaczej niż w formalizmie Lagrange'a, gdzie zmiennymi są q i ich pochodne czasowe. Jednocześnie konstrukcja lagranżjanu wyprowadzona jest z zasad symetrii i jest na ogół prostsza niż wprowadzenie od razu gotowej postaci hamiltonianu. Dodatkowo w niektórych przypadkach możliwe staje się uwzględnienie więzów poprzez wprowadzenie mnożników Lagrange'a. Powodują one zmianę postaci funkcyjnej pędu (w stosunku do newtonowskiego p=m\cdot v) i zostają włączone w równania, co powoduje, że dalsze obliczenia na ogół są łatwiejsze do wykonania, a przynajmniej mniejsza jest liczba równań dzięki jawnej eliminacji równań więzów.

Pęd w mechanice relatywistycznej[edytuj | edytuj kod]

W mechanice relatywistycznej pęd swobodnej cząstki o masie spoczynkowej m poruszającej się z prędkością v określony jest wzorem

\vec{P}={{m \vec{v}} \over \sqrt{1-(v/c)^2}}=m(v)\vec{v}

gdzie wielkość m(v) jest nazywana masą relatywistyczną. Między pędem i energią cząstki istnieje zależność:

{E^2} = (mc^2)^2+(pc)^2

inaczej

{{E^2} }= m^2 c^4+p^2 {c^2}

stąd pęd ciała poruszającego się z prędkością relatywistyczną można wyrazić wzorem

p = \sqrt{\frac{E^2} {c^2}- m^2 c^2}

Pęd fotonu[edytuj | edytuj kod]

Pęd fotonu p jest określony wzorem

p=h/\lambda \,

lub równoważnie

p=hf/c \,

gdzie h to stała Plancka. Foton oddziałując z materią podczas odbicia, pochłonięcia czy emisji wpływa na pęd ciała, z którym oddziałuje.

Pęd w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

W procesie kwantyzacji wielkościom mechanicznym fizyki klasycznej przyporządkowywane są właściwe dla mechaniki kwantowej operatory. Z formalnego punktu widzenia istnieje pewna dowolność w wyborze konkretnego operatora. Dowolność tę ogranicza zasada korespondencji (jednak niektóre wielkości, np. spin, mogą nie posiadać granicy klasycznej). Wielkości kwantowe często wybiera się jako generatory grup Liego odpowiadających im symetrii układów fizycznych, zwłaszcza w wypadku gdy z daną symetrią można związać jakąś zasadę zachowania (porównaj: Twierdzenie Noether).

Mechanika kwantowa nierelatywistyczna[edytuj | edytuj kod]

Pęd kwantowy jest operatorem związanym z symetrią układu względem translacji

x^i \rightarrow x'^i=x^i + a^i.

Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych czyli przekształceń postaci

\psi(\vec{x}) \rightarrow \psi'(\vec{x})=T(\vec{a})\psi(\vec{x})=\psi(\vec{x}+\vec{a})

gdzie T jest operatorem translacji o wektor a. Dla infinitenzymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:

T\psi(\vec{x}) = \psi(\vec{x}+\vec{a}) = \psi(\vec{x}) +a^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}} \psi(\vec{x}) +...

lub

T\psi(\vec{x})=e^{\frac{i}{\hbar}P_{i} a^{i}}\psi(\vec{x})

gdzie

P_i=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i}

jest operatorem pędu. Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (algebry Liego) związanej z grupą Galileusza mechaniki nierelatywistycznej.

Historycznie jako pierwszy postać operatora pędu zaproponował Erwin Schrödinger, który jednak wyznaczył jego postać wychodząc od hamiltonianu dla cząstki swobodnej podczas konstruowania swojego słynnego równania Schrödingera.

Mechanika kwantowa relatywistyczna[edytuj | edytuj kod]

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego punkt posiada współrzędne x^{\mu}=\{ x^0=c t, x^1, x^2, x^3 \} (μ=0,1,2,3). Z symetrii układu fizycznego względem translacji w czasoprzestrzeni

x^{\mu} \rightarrow x'^{\mu}=x^{\mu} + a^{\mu}.

wynika prawo zachowania czterowektora pędu P^{\mu}. Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych czyli przekształceń postaci

\psi(x) \rightarrow \psi'(x)=T(a)\psi(x)=\psi(x+a)

gdzie T jest operatorem translacji o czterowektor a. Dla infinityzymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:

T\psi(x) = \psi(x+a) = \psi(x) +a^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \psi(\vec{x}) +...

lub

T\psi(x)=e^{\frac{i}{\hbar}P_{\mu} a^{\mu}}\psi(x)

gdzie

P_{\mu}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=-i\hbar \partial_{\mu}

jest operatorem pędu. Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (algebry Liego) związanej z grupą Poincarégo mechaniki nierelatywistycznej. Konsekwencją tej symetrii jest istnienie globalnego niezmiennika Casimira

C_1=P_{\mu}P^{\mu}=-\hbar^2 \partial_{\mu}\partial^{\mu}=\hbar^2 \Box

Wielkość ta jest jednocześnie mierzalna (komutuje) z wszystkimi innymi wielkościami fizycznymi opisującymi cząstkę swobodną. jej równanie własne

C_1 \psi(x)=\hbar^2 \Box \psi(x)= \lambda \psi(x)

daje równanie Kleina-Gordona

(\Box -\frac{\lambda}{\hbar^2})\psi(x)=0

z masą spoczynkową zdefiniowaną przez relację

\lambda=(mc)^2\,

Wartości własne operatora Casimira C_1 definiują masę spoczynkową cząstki. Formalnie λ jest liczbą rzeczywistą, może być dodatnia, ujemna lub zero. Klasyfikuje to odpowiednio cząstki na tardiony (cząstki ciężkie) poruszające się z prędkością mniejszą niż prędkość światła, tachiony, poruszające się z prędkością większą niż prędkość światła i luksony poruszające się stale z prędkością światła. Z tego równania własnego (z równania Kleina-Gordona czy równania Diraca) wynika relatywistyczna zależność między energią i pędem

\frac{E^2}{c^2}=p^2+m^2 c^2.

Przypisy

  1. Niutonosekunda - Słownik języka polskiego (pol.). Wydawnictwo Naukowe PWN SA. [dostęp 2013-12-12].
  2. patrz np. Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Wyd. V. Warszawa: PWN, 1977, s. 106.
  3. I. I. Olchowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 1978, s. 90.