Granica i kogranica

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu), czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Diagram prezentujący warunki zgodności i uniwersalności.

Granice w kategorii \scriptstyle \mathcal C definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w \scriptstyle \mathcal C. Granicą diagramu \scriptstyle F\colon \mathcal I \to \mathcal C nazywa się dowolny obiekt \scriptstyle L kategorii \scriptstyle \mathcal C wraz z morfizmami \scriptstyle \phi_i\colon L \to F(i) dla każdego obiektu \scriptstyle i kategorii \scriptstyle \mathcal I spełniający następujące warunki:

  • zgodność,
    dla każdego morfizmu \scriptstyle f\colon i \to j w \scriptstyle \mathcal I zachodzi równość \scriptstyle F(f) \circ \phi_i = \phi_j;
  • uniwersalność,
    dla dowolnego innego obiektu \scriptstyle L' wraz z rodziną morfizmów \scriptstyle \psi_i\colon L' \to F(i) spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm \scriptstyle u\colon L' \to L, że dla każdego \scriptstyle i zachodzi \scriptstyle \psi_i = \phi_i \circ u.

Obiekty \scriptstyle N wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem \scriptstyle F. Stożki nad ustalonym diagramem w \scriptstyle \mathcal C tworzą kategorię, w której morfizmy \scriptstyle u\colon M \to N tej kategorii między pewnymi stożkami \scriptstyle (M, \phi_i) spełniają \scriptstyle \psi_i = \phi_i \circ u. Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kogranicę w kategorii \scriptstyle \mathcal C można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej \scriptstyle \mathcal C^*, bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]