Kategoria (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Formalnie każda kategoria \mathfrak{K} składa się z dwóch klas[2]:

  • klasy Ob\mathfrak{K}, której elementy nazywamy obiektami kategorii \mathfrak{K},
  • klasy Mor\mathfrak{K}, której elementy nazywamy morfizmami kategorii \mathfrak{K}, przy czym morfizmy muszą mieć następujące własności:
    • każdej parze uporządkowanej \langle A, B \rangle\; dwóch obiektów A, B przyporządkowana jest klasa Mor (A, B)\; morfizmów (strzałek) z A do B (oznaczanego też czasem H_\mathfrak{K} (A, B), Hom (A, B)\; lub H (A, B)\;) . Jeżeli f \in Mor (A, B), to A nazywamy początkiem lub dziedziną określoności morfizmu f, a B - jego końcem; czasem zamiast  f \in Mor(A, B) piszemy f: A \rightarrow B,
    • każdy morfizm f należy do tylko jednej klasy Mor (A, B)\;,
    • w klasie Mor\mathfrak{K} określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów f: A \rightarrow B, g: C \rightarrow D jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy B = C i należy on wtedy do zbioru Mor (A, D)\;. Nazywamy go złożeniem morfizmów f i g oraz oznaczamy g \circ f lub gf.
    • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C oraz h: C \rightarrow D to wówczas h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f,
    • do każdego Mor (A, A)\; należy taki morfizm idA, że dla dowolnych morfizmów f: X \rightarrow A i g: A \rightarrow Y mamy  f = id_A \circ f oraz  g = g \circ id_A. Morfizmy idA nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli f \in \operatorname{Mor}(A,B) to piszemy A=\operatorname{dom}(f) i B = \operatorname{cod}(f).

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów A,B klasa \operatorname{Mor}(A,B) jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty i morfizmy pomiędzy nimi.

  • Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania między zbiorami. Hom_{Set} (A, B)\; jest zbiorem odwzorowań zbioru A w zbiór B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
  • Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. Hom_{Gr} (A, B)\; jest zbiorem homomorfizmów grupy A w grupę B. Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. Hom_{Ab} (A, B)\; jest zbiorem homomorfizmów grupy A w grupę B. Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria VectK, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K, a morfizmy są odwzorowaniami K-liniowymi.Hom_{Vect_K} (A, B) jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
  • Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami - odwzorowania nierozszerzające. Hom_{Metr} (A, B)\; jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
  • Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. Hom_{Top} (A, B)\; jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
  • Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
  • Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru A w zbiór B są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru A \times B; złożenie morfizmów jest mnożeniem relacji.
  • Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) x, y istnieje morfizm z x do y wtedy i tylko wtedy gdy x \leqslant y. Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu x, a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
  • Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.
  • Dla dowolnej kategorii C możemy rozpatrywać kategorię, która składa się z obiektów kategorii C i w której zbiór morfizmów składa się z morfizmów odwrotnych do morfizmów z C. Taka nowa kategoria nazywana jest kategorią dualną do C i oznaczana jest jako Cop.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Eilenberg, Mac Lane, op. cit.
  2. Советская энциклопедия, t. 2, op. cit., s. 761

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.
  2. Eilenberg S., Mac Lane S.. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 58, s. 231-294, 1945. Amer. Math. Soc.. 
  3. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  4. Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.