Monada (teoria kategorii)

Monada (kategorii $\mathcal{C}$) – w teorii kategorii, trójka $(T,\eta,\mu)$ dla której $T\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C}$ jest pewnym funktorem (kowariantnym), a $\eta\colon 1_{\mathcal{C}}\to T$ ($1_{\mathcal{C}}$ oznacza identyczność) i $\mu\colon T\circ T\to T$ są takimi transformacjami naturalnymi że:

• $\mu\circ \mu T = \mu \circ T\mu$
• $\mu \circ \eta_T = 1 = \mu\circ T\eta$.

Na przykład jeżeli $(P,\leq)$ jest porządkiem częściowym, monadą nad $P$ jest monotoniczna funkcja $T \colon P\to P$ taka, że $x \leq Tx$ oraz $TTx \leq Tx$ dla dowolnego $x \in P$. (Te dwie nierówności wyrażają typu transformacji $\eta$ i $\mu$. Dzięki temu, że relacja $\leq$ jest przechodnia, diagramy w definicji monady komutują.) Z powyższych zależności dla $T$ wynika, że $Tx \leq TTx$, czyli $TT=T$. Funkcja $T$ jest więc idempotentna i traktuje się ją zwykle jako operację domknięcia.

Zobacz także

• monada (programowanie)

Bibliografia

1. Ajith Abraham, Rafael Falcon, Rafael Bello: Rough Set Theory: A True Landmark in Data Analysis, Studies in Computational Intelligence, Vol. 174/2009, s.52
2. Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 11: Monady. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-09].
3. Monad. HaskellWiki. [dostęp 2010-08-12].