Monada (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Monada (kategorii \mathcal{C}) – w teorii kategorii, trójka (T,\eta,\mu) dla której T\colon\mathcal{C}\to\mathcal{C} jest pewnym funktorem (kowariantnym), a \eta\colon 1_{\mathcal{C}}\to T (1_{\mathcal{C}} oznacza identyczność) i \mu\colon T\circ T\to T są takimi transformacjami naturalnymi że:

  • \mu\circ \mu T = \mu \circ T\mu
  • \mu \circ \eta_T = 1 = \mu\circ T\eta.

Na przykład jeżeli (P,\leq) jest porządkiem częściowym, monadą nad P jest monotoniczna funkcja T \colon P\to P taka, że x \leq Tx oraz TTx \leq Tx dla dowolnego x \in P. (Te dwie nierówności wyrażają typu transformacji \eta i \mu. Dzięki temu, że relacja \leq jest przechodnia, diagramy w definicji monady komutują.) Z powyższych zależności dla T wynika, że Tx \leq TTx, czyli TT=T. Funkcja T jest więc idempotentna i traktuje się ją zwykle jako operację domknięcia.

Zobacz także[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Ajith Abraham, Rafael Falcon, Rafael Bello: Rough Set Theory: A True Landmark in Data Analysis, Studies in Computational Intelligence, Vol. 174/2009, s.52
  2. Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 11: Monady. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-09].
  3. Monad. HaskellWiki. [dostęp 2010-08-12].