Granica odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa[1]. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza[2][3].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rodzinę S=\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\} nazywamy systemem odwrotnym, gdy

  • \Sigma jest zbiorem skierowanym przez relację \leq,
  • dla każdego \sigma, X_\sigma jest obiektem ustalonej kategorii \mathcal{C},
  • dla wszystkich \sigma, \varrho\in \Sigma o tej własności, że \sigma \leq \varrho \pi_\varrho^\sigma jest morfizmem X_\sigma\to X_\varrho w kategorii \mathcal{C},
  • dla wszystkich \sigma, \varrho, \tau\in \Sigma, jeżeli \tau\leq \varrho \leq \sigma, to \pi_\tau^\varrho\pi_\varrho^\sigma=\pi_\tau^\sigma
  • dla każdego \sigma\in \Sigma, \pi_\sigma^\sigma=\mbox{id}_{X_\sigma}.

System odwrotny S=\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\}, w którym \Sigma jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór \Sigma pisząc po prostu S=\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma\}). Przekształcenia \pi_\varrho^\sigma nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego S. Element

(x_\sigma)_{\sigma\in \Sigma}\in \prod_{\sigma\in\Sigma}X_\sigma

nazywa się nicią w systemie odwrotnym S, jeżeli

\pi_\varrho^\sigma(x_\sigma)=x_\varrho

dla wszystkich \sigma, \varrho o tej własności, że \varrho\leq \sigma. Granicą odwrotną systemu odwrotnego S nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów X_\sigma) i oznacza przez

\lim_{\longleftarrow}\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\}.

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych[edytuj | edytuj kod]

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni X_\sigma (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 134-141.

Przypisy

  1. Aleksandrow, Paweł: Untersuchungen über Gestalt und lage abqeschlossener Menge beliebiqer Dimension. Ann. of Math., 30 (1929). ss. 101-187.
  2. Lefschetz, Solomon: On compact spaces, Ann. of Math., 32 (1931). ss. 521-538.
  3. Lefschetz, Solomon: Algebraic topology. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 27. Nowy Jork, American Mathematical Society, 1942.
  4. Charalambous, Michael George: An example concerning inverse limit sequences of normal spaces. "Proceedings of the American Mathematical Society" 78 (1980). ss. 605-607. [1]
  5. Shiraki, Mitsunobu: Compact Hausdorff spaces and inverse limit systems. Rep. Fac. Sci., Kagoshima Univ. (Math. Phys. Chem.) No. 3, (1970). ss. 1-2. [2]