Granica odwrotna

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza.

Definicja

Rodzinę $S=\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\}$ nazywamy systemem odwrotnym, gdy

• $\Sigma$ jest zbiorem skierowanym przez relację $\leq$,
• dla każdego $\sigma$, $X_\sigma$ jest obiektem ustalonej kategorii $\mathcal{C}$,
• dla wszystkich $\sigma, \varrho\in \Sigma$ o tej własności, że $\sigma \leq \varrho$ $\pi_\varrho^\sigma$ jest morfizmem $X_\sigma\to X_\varrho$ w kategorii $\mathcal{C}$,
• dla wszystkich $\sigma, \varrho, \tau\in \Sigma$, jeżeli $\tau\leq \varrho \leq \sigma$, to $\pi_\tau^\varrho\pi_\varrho^\sigma=\pi_\tau^\sigma$
• dla każdego $\sigma\in \Sigma$, $\pi_\sigma^\sigma=\mbox{id}_{X_\sigma}$.

System odwrotny $S=\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\}$, w którym $\Sigma$ jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór $\Sigma$ pisząc po prostu $S=\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma\}$). Przekształcenia $\pi_\varrho^\sigma$ nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego S. Element

$(x_\sigma)_{\sigma\in \Sigma}\in \prod_{\sigma\in\Sigma}X_\sigma$

nazywa się nicią w systemie odwrotnym S, jeżeli

$\pi_\varrho^\sigma(x_\sigma)=x_\varrho$

dla wszystkich $\sigma, \varrho$ o tej własności, że $\varrho\leq \sigma$. Granicą odwrotną systemu odwrotnego S nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów $X_\sigma$) i oznacza przez

$\lim_{\longleftarrow}\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\}$.

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni $X_\sigma$ (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni typu T_i jest przestrzenią typu T_i dla i≤ 3½.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni zero-wymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zero-wymiarową.
• bazą granicy odwrotnej systemu $\{X_\sigma, \pi_\varrho^\sigma, \Sigma\}$ jest rodzina zbiorów postaci $\pi^{-1}_\sigma(U_\sigma)$, gdzie $\sigma$ przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru $\Sigma$, a $U_\sigma$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni $X_\sigma$.
• każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.
• każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

Bibliografia

1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 134-141.