Funktor (teoria kategorii)

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii w drugą zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jak o homomorfizmie z kategorii do kategorii. Słowo funktor zostało zapożyczone od niemieckiego filozofa Rudolfa Carnapa.

Definicje

Funktor (funktor kowariantny) $F$ z kategorii $C$ do $D$ to przyporządkowanie

• każdemu obiektowi $X \in C$ obiektu $F(X) \in D$ i
• każdemu morfizmowi $f \colon X \to Y$ morfizmu $F(f): F(X) \to F(Y)$

takie, że:

• Dla każdego obiektu $X \in C$ zachodzi $F(\operatorname{id}_X) = \operatorname{id}_{F(X)}$
• Dla każdych morfizmów $f\colon X \to Y$, $g\colon Y \to Z$ zachodzi $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$.

Funktor kontrawariantny to funktor $F \colon C^{op} \to D$.

Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Przykłady

• Funktor zapominania: przyporządkowując każdej grupie $(G, \cdot)$ zbiór $G$ i każdemu homomorfizmowi $f \colon G \to H$ funkcję $f\colon G \to H$ otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie mamy funktory zapominania $\operatorname{Top} \to \operatorname{Set}$, $\operatorname{Ab} \to \operatorname{Grp}$ itd.
• Funktor identycznościowy $F \colon C \to C$ określony przez $F(X) = X$ i $F(f) = f$.
• Funktor grupy wolnej przyporządkowujący każdemu zbiorowi $X$ grupę wolną nad $X$.
• Funktorami między dwoma posetami (traktowanymi jako kategorie) są funkcje monotoniczne.

Zobacz też

• funktory sprzężone
• teoria kategorii