Funktor (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii w drugą zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jak o homomorfizmie z kategorii do kategorii. Słowo funktor zostało zapożyczone od niemieckiego filozofa Rudolfa Carnapa.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Funktor (funktor kowariantny) F z kategorii C do D to przyporządkowanie

  • każdemu obiektowi X \in C obiektu F(X) \in D i
  • każdemu morfizmowi f \colon X \to Y morfizmu F(f): F(X) \to F(Y)

takie, że:

  • Dla każdego obiektu X \in C zachodzi F(\operatorname{id}_X) = \operatorname{id}_{F(X)}
  • Dla każdych morfizmów f\colon X \to Y, g\colon Y \to Z zachodzi F(g \circ f) = F(g) \circ F(f).

Funktor kontrawariantny to funktor F \colon C^{op} \to D.

Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funktor zapominania: przyporządkowując każdej grupie (G, \cdot) zbiór G i każdemu homomorfizmowi f \colon G \to H funkcję f\colon G \to H otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie mamy funktory zapominania \operatorname{Top} \to \operatorname{Set}, \operatorname{Ab} \to \operatorname{Grp} itd.
  • Funktor identycznościowy F \colon C \to C określony przez F(X) = X i F(f) = f.
  • Funktor grupy wolnej przyporządkowujący każdemu zbiorowi X grupę wolną nad X.
  • Funktorami między dwoma posetami (traktowanymi jako kategorie) są funkcje monotoniczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]