Transformacja naturalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w inny zachowujące strukturę kategorii na których te funktory operują. Transformacje naturalne można rozumieć jako morfizmy między funktorami, jest to formalizowane przy pomocy kategorii funktorów.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla równoległych funktorów F,G\colon\mathbf{C}\to\mathbf{D}) transofmacją naturalną z F w G nazywamy przekształcenie \eta przypisujące każdemu obiektowi X\in\mathbf{C} strzałkę \eta_X\colon F(X)\to G(X) w \mathbf{D} takie, że dla dowolnego morfizmu f\colon X\to Y w \mathbf{C} następujący diagram komutuje:

Natural transformation.svg

Rodzinę strzałek (\eta_X)_{X\in \mathbf{C}_0} nazywamy komponentami transformacji naturalnej \eta (\mathbf{C}_0 oznacza kolekcję wszystkich obiektów kategorii). Gdy  \forall_{X \in \mathbf{C}_0 } odwzorowanie  \eta_X : F(X) \rightarrow G(X) jest izomorfizmem w kategorii  \mathbf{D} funktory F i G nazywamy naturalnie izomorficznymi.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Transformacją naturalną jest na przykład dla funktora \mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon} (\mathbf{Set} – kategoria zbiorów, \mathbf{Mon} – kategoria monoidów) operacja \mathrm{rev}\colon \mathrm{List}\to\mathrm{List}, która mając daną listę, odwraca jej elementy:

[1,2,8,7]\xrightarrow{\mathrm{rev}}[7,8,2,1]

Dla zbioru A komponent \mathrm{rev}_A\colon \mathrm{List}(A)\to\mathrm{List}(A) jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z A.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
  2. Wykład z Topologii Algebraicznej na Wydziale MiMUW UW w prowadzony w roku 2010.