Transformacja naturalna

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w inny zachowujące strukturę kategorii na których te funktory operują. Transformacje naturalne można rozumieć jako morfizmy między funktorami, jest to formalizowane przy pomocy kategorii funktorów.

Definicja

Dla równoległych funktorów $F,G\colon\mathbf{C}\to\mathbf{D}$) transofmacją naturalną z $F$ w $G$ nazywamy przekształcenie $\eta$ przypisujące każdemu obiektowi $X\in\mathbf{C}$ strzałkę $\eta_X\colon F(X)\to G(X)$ w $\mathbf{D}$ takie, że dla dowolnego morfizmu $f\colon X\to Y$ w $\mathbf{C}$ następujący diagram komutuje:

Rodzinę strzałek $(\eta_X)_{X\in \mathbf{C}_0}$ nazywamy komponentami transformacji naturalnej $\eta$ ($\mathbf{C}_0$ oznacza kolekcję wszystkich obiektów kategorii). Gdy $\forall_{X \in \mathbf{C}_0 }$ odwzorowanie $\eta_X : F(X) \rightarrow G(X)$ jest izomorfizmem w kategorii $\mathbf{D}$ funktory $F$ i $G$ nazywamy naturalnie izomorficznymi.

Przykłady

Transformacją naturalną jest na przykład dla funktora $\mathrm{List}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Mon}$ ($\mathbf{Set}$ – kategoria zbiorów, $\mathbf{Mon}$ – kategoria monoidów) operacja $\mathrm{rev}\colon \mathrm{List}\to\mathrm{List}$, która mając daną listę, odwraca jej elementy:

$[1,2,8,7]\xrightarrow{\mathrm{rev}}[7,8,2,1]$

Dla zbioru $A$ komponent $\mathrm{rev}_A\colon \mathrm{List}(A)\to\mathrm{List}(A)$ jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z $A$.

Bibliografia

1. Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
2. Wykład z Topologii Algebraicznej na Wydziale MiMUW UW w prowadzony w roku 2010.