Transformacja naturalna

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w drugi pełniące rolę homomorfizmu wyższego rzędu w kategorii funktorów.

Definicje

Jeżeli ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}$ są kategoriami, a $F\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},$ $G\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z $F$ do $G$ nazywamy rodzinę $\{\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}$ morfizmów $\eta _{X}\colon F(X)\to G(X)$ kategorii ${\mathfrak {B}}$ indeksowaną obiektami $X\in {\mathfrak {A}}^{o}\!=\mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},$ taką, że dla dowolnego morfizmu $f\colon X\to Y$ w ${\mathfrak {A}}$ następujący diagram komutuje:

tzn. $\eta _{Y}F(f)=G(f)\eta _{X}$. Transformację taką oznaczamy symbolem $\eta \colon F\to G.$ Morfizmy $(\eta _{X})_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}$ nazywamy komponentami transformacji naturalnej $\eta .$

Funktory $F$ i $G$ nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy istnieje transformacja naturalna $\{\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}$ morfizmów $\eta _{X}\colon F(X)\to G(X)$ taka, że dla każdego $X\in {\mathfrak {A}}^{o}$ morfizm $\eta _{X}$ jest izomorfizmem w kategorii ${\mathfrak {B}}.$

Złożeniem transformacji naturalnych $\eta \colon F\to G$ i $\theta \colon G\to H$ jest transformacja naturalna $\theta \eta \colon F\to H$ określona jako rodzina złożeń $\{\theta _{X}\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}.$

Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii ${\mathfrak {A}}_{1}\times \ldots \times {\mathfrak {A}}_{n}$ do ${\mathfrak {B}}.$

Jeżeli $F\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},$ $G\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z $F$ do $G$ traktując $F$ i $G$ jako funktory kowariantne z kategorii ${\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }$ do ${\mathfrak {B}}$.

Przykłady

Niech ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}=\mathbf {Vect}$ będzie kategorią przestrzeni liniowych $V$ nad ciałem $\mathbb {R}$ i przekształceń liniowych $f\colon V_{1}\to V_{2}.$ Przestrzeń sprzężona (dualna) $V^{*}$ jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych $f\colon V\to \mathbb {R} .$ Przyporządkowując każdemu wektorowi $u$ przestrzeni $V$ funkcjonał $\psi _{u}$ na $V^{*},$ należący do $V^{**}=(V^{*})^{*},$ określony wzorem $\psi _{u}(\varphi )=\varphi (u)$ dla $\varphi \in V^{*},$ otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy $\psi _{V}\colon V\to V^{**}$. Rodzina $\{\psi _{V}\}_{V\in \mathbf {Vect^{o}} }$ jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego $\mathbf {Vect} \to \mathbf {Vect}$ w funktor drugiej sprzężonej $\mathbf {Vect} \to \mathbf {Vect}$ określony przez przyporządkowanie obiektowe $V\mapsto V^{**}.$ Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.

Ogólniej, niech $\mathbf {Vect}$ oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem $K$ i niech $B$ będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z $\mathbf {Vect}$ do $\mathbf {Vect}$ (zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom $\mathrm {Hom} (A,B)$ zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,B),B)$ z $\mathbf {Vect}$ do $\mathbf {Vect} .$ Każdemu $A\in \mathrm {Ob} \mathbf {Vect}$ przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe $\eta _{A}$ z $A$ w $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,B),B),$ którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na $\mathbf {Vect}$ w funktor $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,B),B)$.

Niech $\mathbf {Z}$ oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii $\mathbf {Ab}$ grup abelowych). Funktor kowariantny $\mathrm {Hom} (\mathbf {Z} ,-):\mathbf {Ab} \to \mathbf {Ab}$ jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na $\mathbf {Ab} ,$ a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup $\eta _{A}\colon \mathrm {Hom} (\mathbf {Z} ,A)\to A$ określone jako $\eta _{A}(\varphi )=\varphi (1)$ dla homomorfizmów $\varphi \colon \mathbf {Z} \to A.$

Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych $\mathrm {Hom} (?_{1}\otimes ?_{2},?_{3})$ i $\mathrm {Hom} {\big (}?_{1},\mathrm {Hom} (?_{2},?_{3}){\big )},$ gdzie $?_{1},?_{2},?_{3}$ są symbolami tych zmiennych.

Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z $\mathbf {Set} \times \mathbf {Set}$ do $\mathbf {Set} ,$ który każdej parze obiektów $X,Y$ (zbiorów w $\mathrm {Ob} \mathbf {Set}$) przyporządkowuje zbiór $\Phi (X,Y)=X\times Y,$ a każdej parze morfizmów $\alpha \colon X_{1}\to X_{2},$ $\beta \colon Y_{1}\to Y_{2}$ przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi $\Psi (X,Y)=Y\times X.$ Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje $\eta _{X,Y}\colon X\times Y\to Y\times X$ przyporządkowujące parze $\langle a,b\rangle$ parę $\langle b,a\rangle .$ Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×C.

Transformacją naturalną dla funktora $\mathrm {List} \colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Mon}$ z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja $\mathrm {rev} \colon \mathrm {List} \to \mathrm {List} ,$ która – mając daną listę – odwraca jej elementy:

$[1,2,8,7]{\xrightarrow {\mathrm {rev} }}[7,8,2,1]$

Dla zbioru $A$ komponent $\mathrm {rev} _{A}\colon \mathrm {List} (A)\to \mathrm {List} (A)$ jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z $A.$

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 48.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
• Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
• Functorial morphism (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].