Grupa modularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa modularna \Gamma (Gamma) - grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, teorii reprezentacji i geometrii algebraicznej. \Gamma można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Grupa modularna \Gamma zdefiniowana jest jako zbiór liniowych przekształceń ułamkowych (przekształceń Möbiusa) górnej półpłaszczyzny zespolonej na siebie,

f(\tau)=\frac{a\tau+b}{c\tau+d}

gdzie a,b,c,d\in\mathbb Z oraz ad-bc=1. Działaniem grupowym jest składanie funkcji. \Gamma jest izomorficzna jako grupa ze specjalną rzutową grupą liniową \mbox{PSL}(2,\mathbb Z), która jest ilorazem 2-wymiarowej specjalnej grupy liniowej nad liczbami całkowitymi \mbox{SL}(2,\mathbb Z) przez jej centrum \{I,-I\}. Innymi słowy, \mbox{PSL}(2,\mathbb Z) jest grupą macierzy (działaniem jest mnożenie) postaci

M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

gdzie a,b,c,d\in\mathbb Z oraz \mbox{det}\ M = ad-bc = 1, przy czym utożsamiamy ze sobą macierze A i -A.