Pełna grupa liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa)grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę \left(U_n(R), \cdot, {}^{-1}, I\right) oznaczaną \operatorname{GL}(n, R), gdzie:

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator \operatorname{GL}(n, \cdot) jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

Przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli V jest przestrzenią liniową nad ciałem K, wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez \operatorname{GL}(V) lub \operatorname{Aut}(V) nazywamy grupę wszystkich automorfizmów V, tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych V \to V ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń V ma skończony wymiar \dim V = n, to \operatorname{GL}(V) oraz \operatorname{GL}(n, K)izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w V. Jeżeli (e_1, \dots, e_n) jest bazą uporządkowaną V, zaś T automorfizmem \operatorname{GL}(V), to mamy

Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j

dla pewnych stałych a_{jk} \in K. Macierz odpowiadająca T składa się po prostu z wyrazów a_{jk}.

Podobnie grupa \operatorname{GL}(n, R) pierścienia R może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego R-modułu o randze n.

Wyznaczniki[edytuj | edytuj kod]

Macierz jest odwracalna nad ciałem K wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd \operatorname{GL}(n, K) może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego R jest nieco subtelniejsza: macierz nad R jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w R, tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w R. Stąd \operatorname{GL}(n, R) może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym R nie ma sensu. W tym przypadku grupa \operatorname{GL}(n, R) może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych M(n, R)\;.

Specjalna grupa liniowa[edytuj | edytuj kod]

Specjalną grupą liniową stopnia n nad ciałem K nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia n o elementach z ciała K, których wyznacznik jest równy jedności. Specjalną grupę liniową oznacza się przez \operatorname{SL}(n, K).

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Rozmaitość algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

\operatorname{GL}(n, K) może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru n^2 nad K.

Ciała skończone[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli K jest ciałem skończonym o q elementach, to zamiast \operatorname{GL}(n, K) piszemy czasami \operatorname{GL}(n, q). Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to \operatorname{GL}(n, p) jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy \mathbb Z_p^n, a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ \mathbb{Z}_p^n jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

Rząd grupy[edytuj | edytuj kod]

Rząd grupy \operatorname{GL}(n, K) wynosi

|\operatorname{GL}(n, K)| = \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i).

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie k-ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych k-1 kolumn.

Przykładowo \operatorname{GL}(3, 2) ma rząd równy (8-1)(8-2)(8-4) = 168. Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fano oraz grupy \mathbb{Z}_2^3.

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad K, innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru k. Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla \operatorname{SL}(n, K) to

|\operatorname{SL}(n, K)| = {1 \over q-1} \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i).

Inne podgrupy[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy diagonalne[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę \operatorname{GL}(n, K), nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z \left(K^*\right)^n. W ciałach takich jak \mathbb R, czy \mathbb C odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

Macierz skalarna to macierz będąca iloczynem stałej oraz macierzy jednostkowej.

Grupy klasyczne[edytuj | edytuj kod]

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami \operatorname{GL}(V) zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej V. Są to między innymi

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Podobne grupy[edytuj | edytuj kod]

Projektywna grupa liniowa[edytuj | edytuj kod]

Projektywna grupa liniowa \operatorname{PGL}(n, K) oraz specjalna projektywna grupa liniowa \operatorname{PSL}(n, K)grupami ilorazowymi \operatorname{GL}(n, K) oraz \operatorname{SL}(n, K) przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

Grupa afiniczna[edytuj | edytuj kod]

Grupa afiniczna \operatorname{Aff}(n, K) jest rozszerzeniem \operatorname{GL}(n, F) o grupę przesunięć w K^n. Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

\operatorname{Aff}(n, K) = \operatorname{GL}(n, K) \ltimes K^n,

gdzie \operatorname{GL}(n, K) działa na K^n w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową K^n.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]