Funkcja wymierna

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do wielomianów jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Spis treści

Jeśli

$g(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

$h(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0$

są funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała $K$ , przy czym $h(x) \not\equiv 0$ (tj. nie wszystkie $b_i\,$ są zerami), to funkcję

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ ,

nazywamy funkcją wymierną^[1].

Dziedziną funkcji $f (x)$ jest ciało $K$ z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji $h (x)$ .

Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli P jest pierścieniem całkowitym oraz P[x] jego pierścieniem wielomianów, to K jest ciałem ułamków pierścienia P[x].
Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
Złożenie funkcji wymiernych też jest funkcją wymierną.
Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną

Funkcja $f(x) = \tfrac{2(1 + 3x)}{3(1-x)^2}$ jest wymierna.
Wyrażenie $(1 + x) y$ nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
Jeśli $g$ jest dowolnym wielomianem, a $h$ jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne $f = \tfrac{g}{h}$ również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
Funkcja $f(x) = \tfrac{ax + b}{cx + d}$ jest wymierna. Jeżeli $ad - bc \neq 0$ to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla $c = 0$ jest to funkcja liniowa).