Funkcja wymierna

Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych^[1]. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli

g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},

h(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}

są funkcjami wielomianowymi o współczynnikach z dowolnego ciała $K,$ przy czym $h(x)\not \equiv 0$ (tj. nie wszystkie $b_{i}$ są zerami), to funkcję

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}},

nazywa się funkcją wymierną^[a].

Dziedziną funkcji $f(x)$ jest dziedzina funkcji $g(x)$ z wyłączeniem miejsc zerowych funkcji $h(x).$

Funkcja $f(x)={\tfrac {2(1+3x)}{3(1-x)^{2}}}$ jest wymierna.
Wyrażenie $(1+x)^{y}$ nie jest wymierne, stąd funkcja je realizująca również nie jest wymierna.
Dowolny wielomian (funkcja wielomianowa) jest wyrażeniem wymiernym (funkcją wymierną).
Jeśli $g$ jest dowolnym wielomianem, a $h$ jest wielomianem stałym (jest zerowego stopnia), to wyrażenie wymierne $f={\tfrac {g}{h}}$ również jest wielomianem. Zdanie to jest również prawdziwe dla funkcji wielomianowych i wymiernych reprezentujących wielomiany i wyrażenia wymierne.
Funkcja $f(x)={\tfrac {ax+b}{cx+d}}$ jest wymierna. Jeżeli $ad-bc\neq 0$ to nazywa się ją funkcją homograficzną (dla $c=0$ jest to funkcja liniowa).

Pochodną funkcji arcus tangens jest funkcja wymierna, która może być użyta np. do przybliżania tej pierwszej.
Rozkład Cauchy’ego w probabilistyce i statystyce,
W optyce współczynnik załamania (gęstość optyczna) w ośrodkach dyspersyjnych jest często wymierną funkcją długości fali.

Zbiór funkcji wymiernych z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Działania na funkcjach wymiernych wykonuje się podobnie do działań na zwykłych ułamkach. Dokładniej, jeśli $P$ jest pierścieniem całkowitym oraz $P[x]$ jego pierścieniem wielomianów, to $K$ jest ciałem ułamków pierścienia $P[x].$
Zbiór funkcji wymiernych jest K-algebrą.
Złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
Dowolna funkcja wymierna (nad ciałem liczb zespolonych) jest funkcją meromorficzną

↑ W wielu źródłach funkcję wymierną definiuje się ogólniej jako funkcję wielu zmiennych. Np. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, NT, Warszawa 2000.

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rational Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Rational function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].